到達不能基数・巨大基数研究2

前スレが 1000または1000近くなったので 次スレ立てる
前スレ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1791259233/1-

到達不能基数で
倒錯人がいる
中高生一貫校生も来るので
スレ立てる
まずは、下記など
以下順次

(google検索)
到達不能基数 モデル pdf
＜AI による概要＞
到達不能基数（inaccessible cardinal）が強到達不能基数である場合、フォン・ノイマン階層の Vκ は ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）の集合的モデルになります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0

到達不能基数とモデルの基本性質
・強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たすとき、強到達不能基数と呼びます。
・ZFCのモデル Vκ：κ が強到達不能基数ならば、累積階層の切り口であるVκ は ZFC公理系のモデル（標準モデルの構造）になります。
・無矛盾性の強さ：κ の存在は ZFC 自身からは証明も否定もできず（不完全性定理）、その存在を仮定することは ZFC の無矛盾性を ZFC よりも強い仮定として認めることに相当します。
・弱到達不能基数とLκ：κ が弱到達不能基数の場合、ゲーデルの構成可能集合の累積 Lκ は ZF（選択公理を含まない系）のモデルになります。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/ishii.pdf Lebesgue 可測性に関するSoloayの定理と実数の集合の正則性1石井大海筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士前期課程二年 2015
関連するオンラインの講義資料やPDFとしては、次のような解説が公開されています。
・公理論的集合論（情報科学特別講義 III）のPDFでは、到達不能基数と Vκ がモデルになる証明の概要が扱われています。
・ゲーデルの L とゼロ・シャープのPDFでは、可測基数や到達不能基数の性質について解説されています。
https://www.scribd.com/document/369587873/%E5%85%AC%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96-%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A6%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E7%BE%A9-III
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）矢田部俊介 2013 京都大学

さらに詳しく知りたい場合は、以下の中からお知らせください。
•Vκが各公理（置換公理やべき集合公理など）を満たすことの証明の細部
・グロタンディーク宇宙（Grothendieck universe）との関連

(参考)
https://tenasaku.com/academia/
https://tenasaku.com/academia/notes/advent-20191204.pdf
ゲーデルのLとゼロ・シャープジタさん(fujitapiroc1964@twitter) 2019 年12月4日

(ですね)人に送る
下記を百回音読するように！（＾＾

(google検索)
到達不能基数と通常の基数との関係の図解は？
＜AI＞
到達不能基数（特に強到達不能基数）と通常の基数（有限基数や可算・非可算基数）の関係は、「下位の基数からどのように演算を繰り返しても、絶対に届かない圧倒的な境界線」として図解できます。
通常のZFC集合論の枠組みでは、到達不能基数の存在を証明することも否定することもできません（存在が独立している）。そのため、標準的な基数の「雲の上の世界」に位置する存在として描かれます。
この階層的な位置関係を可視化した概念図を以下に示します。

https://i.imgur.com/YJrVWjt.png
基数の階層構造と到達不能基数の位置
Inaccessible Cardinals & ZFC Hierarchy
Conceptual set-theoretic transcendence model

https://i.imgur.com/GieTbJY.png
通常の基数と「到達不能基数」を分ける2つの壁
到達不能基数は、通常の基数から以下の2つの数学的アプローチ（演算）を行っても絶対に到達できない（超えられない）サイズとして定義されています。

視覚的なイメージ：数の世界の「宇宙（モデル）」
数学的には、最初の到達不能基数を κ としたとき、それより小さい集合をすべて集めた世界 V_κは、それ自体が「ZFC集合論のすべての公理を満たす完璧なミニ宇宙」になります。

・通常の基数：ℵ0（自然数全体の濃度）や ℵ1（実数の一部の濃度）などは、このミニ宇宙 V_κ の内部に収まるパーツに過ぎません。
・到達不能基数：通常の基数たちからは、どれだけ「パーツを組み合わせる（和集合）」や「次元を増やす（冪集合）」を行っても、この宇宙の壁κを突破して外に出ることはできません。これが「到達不能（Inaccessible）」と呼ばれる理由です。

さらに上の世界（可測基数など）や、この境界線が集合論に与える影響について、さらに詳しく知りたい部分はありますか？

https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/Martin-conjecture.pdf
集中講義「マーティン予想」
木原貴行名古屋大学情報学部・情報学研究科 最終更新日: 2018年12月29日

2. Core Pillars of Transcendence
To build an inner model capable of conceptual transcendence, a cardinal κ must satisfy three structural criteria that seal it off from the mathematical operations below it:
＜到達不能基数の表＞
https://i.imgur.com/kvigFc0.png

3. Structural Properties of the Model
• Reflective Self-Containment: The boundary stage Vκ is a natural model of ZFC. Anything you can say or prove using standard set theory remains entirely trapped inside Vκ . It looks like the "entire universe" to an observer within it.
• Axiomatic Transcendence: By Gödel’s Second Incompleteness Theorem, ZFC cannot prove its own consistency, nor can it prove that a model of ZFC exists. Therefore, the existence of the horizon κ cannot be proven using ZFC axioms; it requires an explicit axiom of transcendence (Large Cardinal Axiom).

Would you like to explore how this model relates to Grothendieck universes in category theory, or look into higher levels of transcendence like Mahlo or measurable cardinals?

(参考)（有名なAkihiro Kanamori氏の本）
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/xbooks/The-Higher-Infinite-optimized.pdf
The Higher Infinite (Springer)
Akihiro Kanamori The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings Second Edition
2004/12/13 — existence of inaccessible cardinals cannot be established in set theory: 1.2 Proposition. Suppose that κ is inaccessible. Then: (a) If x ...

(参考)（＾＾
https://konn-san.com/math/
石井大海†
数学関係をまとめておくばしょ konn-san.com
https://konn-san.com/math/freshman-2016-resume.pdf
集合論への招待*
〜実数直線の集合論〜
石井大海† Saturday 4th June, 2016
† 筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士後期課程1年
P13
巨大基数と呼ばれる，ZFCからは存在を証明出来ない非常に大きな無限について分析していくことで，連続体濃度0の大きさを決定出来る筈だ，と提唱しました．これはGödelのプログラムと呼ばれています．そういったものの中で最弱のものが到達不能基数です：

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal
Large cardinal
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal#/media/File:Large_Cardinals.jpg
Large cardinal hierarchy, ordered from bottom to top in terms of strength.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]

(google検索)
what is 0=1 Large Cardinal
＜AI概要＞
"0 = 1" is not actually a large cardinal itself, but rather a trivial/inconsistent axiom (or contradiction) that some extremely powerful, hypothetical large cardinal axioms—such as the Reinhardt cardinal—have been suspected or shown to be inconsistent with standard ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory with the Axiom of Choice).

Key Concepts
• Large Cardinals: In mathematics, large cardinal properties describe transfinite cardinal numbers so large that their existence cannot be proven from standard ZFC axioms. They form a strict hierarchy of increasing consistency strength.
• The "Too Strong" Limit: As mathematicians explore higher and higher large cardinal axioms (such as measurable, supercompact, or extendible cardinals), some proposed axioms near the top of the hierarchy turn out to be too strong.
• Equivalence to 0 = 1: For instance, the existence of a Reinhardt cardinal (a type of large cardinal defined by a non-trivial elementary embedding from the universe V to V) was famously shown by Kenneth Kunen to be inconsistent with the Axiom of Choice in ZFC. In certain informal or extended contexts, assuming or reaching certain inconsistent upper bounds collapses the entire logical system down to absurdity, meaning you can prove everything—colloquially summarized as the system implying 0 = 1.

Summary
Saying "0 = 1 large cardinal" refers to the boundary where a proposed large cardinal axiom (like a Reinhardt cardinal) overshoots the consistency of standard set theory, reducing the logical framework to a contradiction where 0 = 1.

Would you like to explore how the large cardinal hierarchy is ordered (from inaccessible to measurable cardinals), or are you interested in a specific axiom like Kunen's inconsistency theorem?
＜AI概要＞
(google訳)
「0 = 1」となるような巨大基数は、それ自体が巨大基数であるというよりは、むしろ自明かつ矛盾した公理（あるいは矛盾そのもの）を指します。ラインハルト基数（Reinhardt cardinal）をはじめとする極めて強力な巨大基数の公理のいくつかは、標準的なZFC（選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論）と両立しない（矛盾する）ことが示唆、あるいは証明されています。

主要な概念
• 巨大基数：数学において、巨大基数に関する性質は、その存在を標準的なZFC公理系からは証明できないほど巨大な超限基数を記述するものです。これらは「無矛盾性の強さ」に基づいた厳密な階層構造を成しています。
• 「強すぎる」という限界：数学者がより高次の巨大基数公理（可測基数、超コンパクト基数、拡張可能基数など）を探求していく中で、階層の上位に位置する公理の中には、強すぎて標準的な公理系と両立しなくなるものが出てきます。
• 「0 = 1」との同値性：例えば、ラインハルト基数（宇宙VからVへの非自明な初等的埋め込みによって定義される巨大基数の一種）の存在は、ケネス・クーネン（Kenneth Kunen）によって、ZFCにおける選択公理と矛盾することが証明されました。非公式な文脈や拡張された文脈において、こうした矛盾を孕む公理を仮定したり、あるいは矛盾に至るような極限に達したりすると、論理体系全体が崩壊して「何でも証明できてしまう」状態になります。これを俗に「その体系が『0 = 1』を導く」と表現します。

まとめ
「0 = 1」を導くような巨大基数とは、ある巨大基数公理（ラインハルト基数など）が標準的な集合論の無矛盾性の範囲を超えてしまい、論理的枠組みが「0 = 1」という矛盾に帰着してしまうような境界線上の存在を指します。

巨大基数の階層構造（到達不能基数から可測基数に至るまで）について詳しく知りたいですか？それとも、クーネンの不整合性定理（Kunen's inconsistency theorem）のような特定の公理に関心がありますか？

薄葉バクダン １発目
ホイヨｗ （＾＾

https://tenasaku.com/LWS-2/
Logic Winter School II
ロジック・ウィンタースクール
愛媛県松山市にて, 2023年12月26日(火)〜29日(金)
巨大基数と高次の論理 (薄葉季路)
巨大基数は、可算無限基数がもつ様々な性質を一般化することで得られてきた。可算無限基数は「一階述語論理のコンパクト性が成り立つ最小の基数」という性質を持つが、古典的な巨大基数の一つ、強コンパクト基数は「無限論理」のコンパクト性をもとにして定義されており、他にも「高階論理」のコンパクト性などにも対応する巨大基数が存在する。また、高階論理、無限論理などに対する、ある種のレーヴェンハイム・スコーレム性と巨大基数との対応なども盛んに研究されてきた。この講義では、こういった一階述語論理を超える「高次の論理」と巨大基数との関係について紹介する。
【講義スライド [1] [2] [3] [4]】

https://tenasaku.com/LWS-2/Usuba_202312logic_winter_01_rev.pdf
巨大基数と高次の論理1/4
薄葉季路(うすば としみち)早稲田大学基幹理工学部
2023 年12月26–29日Logic Winter School II@松山

P2
第一回目: 準備,到達不能基数
第二回目: 無限論理とコンパクト基数
第三回目: 二階論理とL¨owenheim-Skolem-Tarskiの性質
第四回目: 再びコンパクト性

P11
Question
Weakly inaccessible cardinal は存在するか?
Answer
存在することは(強い意味で)証明できない(詳しくは後述)

P16
Definition φとx1,...,xn ∈ M に対してφ(x1,...,xn)M が成り立つときφ(x1,...,xn)はMで真であるといい(M;∈) ⊧ φ(x1,...,xn), M ⊧ φ(x1,...,xn),とも書く. {∈} の理論T に対して, すべてのφ∈T についてM⊧φの時MをT のモデルと呼ぶことにする.

P17
基本的にMが集合の時は(2)の意味,クラスの時は(1)の意味で「モデルである」と呼ぶことにする.

P19
Theorem
αがlimit ordinal ならば, (Vα;∈)はZCのmodelになる.

P21
Theorem κがinaccessible cardinal ならば次が成り立つ:
1 x ⊆Vκ, ∣x∣ <κならばx ∈Vκ.
2 (Vκ;∈)はZFCのモデルである.

P22
IC を“inaccessible cardinal が存在する”という命題とする.
Corollary
(ZFC が無矛盾ならば) ICはZFCから証明不可能.

Corollary
(ZFC が無矛盾ならば) “ZFCが無矛盾ならばZFC+ICも無矛盾” を形式化した文Con(ZFC)→Con(ZFC+IC) はZFCから証明不可能.

Ｐ24
κがinaccessible ⇒“Vκ はZFCのモデル”だが, 逆は言えない:

Proposition
κがinaccessible cardinal ならば {α < κ ∣ Vα ⊧ ZFC}はκでcofinal.

Ｐ25
Theorem
基数κに対して次は同値:
1 κはinaccessible
2 VκはZFC2のモデル.

薄葉バクダン２発目

https://tenasaku.com/LWS-2/Usuba_202312logic_winter_02_rev.pdf
巨大基数と高次の論理2/4
薄葉季路 早稲田大 2023
Ｐ2
巨大基数と高次の論理(薄葉季路)巨大基数は、可算無限基数がもつ様々な性質を一般化することで得られてきた。可算無限基数は「一階述語論理のコンパクト性が成り立つ最小の基数」という性質を持つが、古典的な巨大基数の一つ、強コンパクト基数は「無限論理」のコンパクト性をもとにして定義されており、他にも「高階論理」のコンパクト性などにも対応する巨大基数が存在する。また、高階論理、無限論理などに対する、ある種のレーヴェンハイム・スコーレム性と巨大基数との対応なども盛んに研究されてきた。こういった一階述語論理を超える「高次の論理」と巨大基数との関係について紹介する
第一回目: 準備,到達不能基数
第二回目: 無限論理とコンパクト基数
略

Ｐ8
以下は一階述語論理では特徴づけ不可能だが,適当なLω1,ω-理論で特徴づけ可能:
1 torsion abelian groups;
2 finitely generated groups;
3 non-finitely generated groups;
4 linear orders isomorphic to (Z;<);
5 archimedian field;
6 connected graphs;
7 recursively saturated models of PA;
8 ω-models of ZFC (i.e., models of ZFC where the integers are standard);

Ｐ9
Theorem (コンパクト性定理)
T をLω,ω の理論とする. もしT の任意の有限部分理論がモデルを持てば, T はモデルを持つ.一般にinfinitary logic においてはコンパクト性定理は成り立たない.

P13
Questionでは, inaccessible は weakly compact になるか?
Answerならない. Weakly compactはinaccessibleよりずっと大きい.
Theorem
κがweakly compactならば, {α<κ∣αはinaccessible}はκでcofinal. 特に, weakly compact cardinal κ はκ番目のinaccessible cardinal である.

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cofinality
Cofinality 共終性
(抜粋)
(google訳)
特に順序理論では、半順序集合Aの共終性cf( A ) は、Aの共終部分集合の濃度の最小値である。形式的には、
cf（A）=inf{|B|:B⊆A、（∀x∈A）（∃y∈B）（x≤y）}
この共終性の定義は選択公理に依拠しており、空でない基数集合には最小要素が存在するという事実を利用しています。半順序集合Aの共終性は、 xからAへの関数が存在し、その共終像が となるような最小の順序数 xとして定義することもできます。この 2 番目の定義は選択公理がなくても意味を成します。この記事の残りの部分で想定するように選択公理を仮定すると、2 つの定義は同等になります
共終結性は、有向集合に対しても同様に定義でき、ネットにおける部分列の概念を一般化するために使用されます
例
・最大要素を持つ部分順序集合の共終性は1 です
・特に、ゼロでない任意の有限順序数、あるいは任意の有限有向集合の共終数は1である
・A subset of the natural numbers N is cofinal in N if and only if it is infinite, and therefore the cofinality of ℵ0 is ℵ0.
Thus ℵ0 is a regular cardinal.

(参考)
https://arxiv.org/abs/1108.4223
[Submitted on 22 Aug 2011]
The set-theoretic multiverse
Joel David Hamkins

https://ncatlab.org/nlab/show/universe+of+sets
ncatlab
universe of sets
Contents
1. Idea
2. Categories as universes
3. Universes as classes
4. Grothendieck universes
5. Universes inside SET
6. Reflection
7. Universe of sets in type theory
8. Related concepts
9. References
General
In type theory

(google訳)要約
1. アイデア
集合の宇宙とは、集合に関する数学（その一部、あるいは素朴な見方をすれば事実上すべて）が展開される場とみなせる領域のことである。こうした宇宙は純粋にメタ数学的なものとなり得るが、それらについて考察を加え、数学の対象として取り込むことも可能である。

3. クラスとしての宇宙（注：フォン・ノイマン宇宙 Vはクラス(ZFC公理から)）
数学の宇宙としての大きな圏 SET という考え方には、クラス論における対応物がある。実在的クラス論（material class theory）において、フォン・ノイマン宇宙 V は、すべての整礎的な純粋集合からなるクラスである。

4. グロタンディーク宇宙（注：集合です(ZFC公理ではないので)）
グロタンディーク宇宙とは、以下の性質を満たす集合 Uのことである。

5. 集合論内部の宇宙
集合論が数学の基礎であるならば、上述の宇宙は数学そのものではなく、メタ数学の一部と言えるでしょう。しかし、集合論内部に存在し、宇宙の性質を持つ小さな圏や集合を探すこともできます。

フォン・ノイマン宇宙が構築される階層構造Vα
には、既にその兆候が見られます。αの値によっては、
Vαは通常の数学を行うのに十分な大きさで完全な集合の集合となる可能性があります。
nPOVの観点からは、これらの集合の圏Setα
とそれらの間の関数に着目することもできますが、より一般的には、ある基数 κ
に対するSetκ
を考える方が一般的です。

圏論から、棍棒を追加するｗ
・斎藤恭司先生のまえがき1と2は、格調高い。百回音読の価値あり！
・第3章集合論 歴史：まあ、ここではZFCの前 Cantorの集合論ベースだが
・アマゾン レビューでは 「一階述語論理言語とZFC（＋ZFCによって表現される圏の公理）＋到達不能基数公理」とある

(参考)
https://www.maruzen-publishing.co.jp/book/b10112149.html
ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳 斎藤恭司監修 丸善2017

https://i.imgur.com/vqJ8CtC.jpeg
斎藤恭司まえがき1 ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳2017
”「上部構造の論理を取り扱う言語」圏論”

https://i.imgur.com/3OUULs9.jpeg
斎藤恭司まえがき2 ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳2017
”Kontsevichによるホモロジカル鏡像対称性予想”
”もはや圏なしには命題を述べることすらできない”
”以上を踏まえると，これから数学を学ぶものにとって圏論は必須項目であると思う”

https://i.imgur.com/PrpBQuv.jpeg
第3章集合論 歴史 ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳2017
”Cantorの集合論”
”今日では, Cantor､の仕事の基礎はほとんどすべての学部相当の数学科のシラバスにみることができる．”

<アマゾンレビュー>
目玉焼き
第3章は読み飛ばしてもいいが…20200111
この本は議論を絞り，圏論の発想法として顕著なものを初学者に向けて説明したものです
多くの人にとっては，圏は集合と同じくツールであり，研究対象そのものではないですから，「扱い方」を学ぶことが目的となります．その意味で，他の方のレビューにもあるように，この本は優れた誘導を行っていると言えるでしょう

さて，圏論をツールとして用いるだけなら，第3章は必要ありませんが，他の方のレビューをみるに，少なからず読解力不足による誤解があるようです．
第３章に循環論法などありません（少なくとも訳者の注釈によっても誘導されています）

マクレーンがうるさく言っていたように，「数学の基礎づけ」を行う方法論として，圏の発明以後では，公理的集合論（例えばZFC）による方法と，圏による方法のどちらを採用しても現在の数学の形式化を行うのに充分すぎる表現力を持っているということを説明しているのです

もう少し正確に言えば，標準的な圏論による数学の基礎付けの方法論は，メタ言語として「古典論理の一階述語論理」を，形式の構造を「一階述語論理言語と圏の公理（＋圏の公理によって表現される集合の公理）＋グロタンディーク宇宙」としていますが，公理的集合論による同程度の強さになる基礎づけの方法は，メタ言語は同じく「古典論理の一階述語論理」として，形式の構造を「一階述語論理言語とZFC（＋ZFCによって表現される圏の公理）＋到達不能基数公理」としているわけです

どちらも現在の数学をその中で展開するのに十分すぎるほど強力な表現力を持っていて，前者・後者のいづれか一つを仮定すればもう一方は導けるわけです．だから，見かけの表現は異なるけれど，どちらを前提にしても構いませんよという意味になります
公理的集合論を前提として圏論を構成することも当然にできるし，多くの圏論の本でやっているように，（集合論を仮定せずに）圏論から集合論の公理を表現して見せることもできるわけです

(引用開始)
>２）ノイマン宇宙 V ⊂ Vκ
>Vκは κ未満の順序数αによる ステージVαらの和集合
>到達不能基数公理によりVκは集合
>一方、Vは ZFC中ではクラス
まずVκが集合なら、その任意の部分は集合であり固有クラスではない
一方VκはZFCのモデル　つまりVκの要素のみを集合とする集合論の世界がある
その中にVκ自身はない　つまり世界Vκの中ではVκは”集合”ではない
そしてVκが集合として存在する世界Vは、当然Vκを包含する
したがってVκ⊊V
(引用終り)

間違っている
１）ノイマン宇宙 V は、下記「ZFCによって定義され」るとある（VはZFC内の話）
２）「κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである」
　とある。つまり、κを認めれば それを使ってVκ+1も考えることができる
　そして Vκ⊂Vκ+1（等号含まず）
３）さらに、下記en.wikipediaにあるように
　”The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers”
　この ordinal numbers が、ZFC内であることは明らか
　かつ、”The sets Vα are called stages or ranks.”だから ステージVαは集合
４）つまり、Vκはκによるステージであり 集合を意味する
　κは ZFCでは証明できない
　一方 Vαで αは ZFCでは証明できる順序数で、
　従って 下記”V:=⋃α Vα”中には、κによるステージは含れない
　κは、如何なるαより大なる基数だから Vκには すべてのVαたちが含まれる
　従って、V ⊂Vκ（等号を含む）■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙 V
とは、遺伝的（英語版）整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである。Vω+ω はordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである。
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
In set theory and related branches of mathematics, the von Neumann universe, or von Neumann hierarchy of sets, denoted by V, is the class of hereditary well-founded sets. This collection, which is formalized by Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), is often used to provide an interpretation or motivation of the axioms of ZFC.
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; 略
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃α Vα.

転載しておく（＾＾
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1792990921/803
(引用開始)
>高卒＋数学AI = 高卒が自分の直感に反するAIの発言をハルシネーションと罵倒する狂態
(引用終り)

良い機会だから書いておく
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1791259233/621
到達不能基数・巨大基数研究
このスレの真のねらいは、おサルと(ですね)人の公開処刑

おサルと(ですね)人の二人が、到達不能基数・巨大基数を誤解していることに気付いた
特におサルは、その実数学科の最底辺オチコボレさんなのに、５ｃｈ数学便所板で 必死に他人にマウントヒヒごっこ
”数学科の最底辺オチコボレさん ＜ 高卒＋数学AI ”
この不等式の成立証明が 到達不能基数・巨大基数研究スレの真の目的なのさｗ（＾＾

箱入りでは、数学文献が ほとんど皆無だから 水掛け論になった
が、到達不能基数・巨大基数は 山ほどある。が、二人は読めていない
（数学科の”厳ミチュ”教育が 新しい数学文献を読むときのアダで、新しい文献が読めない？ｗ（＾＾）
公開処刑は、現在進行形だが 見る人が見れば 二人はすでに詰んでいるｗ

>個人的な所感を書くと
>・19世紀末から20世紀はじめの 公理的集合論の構築は 意味があったと思う
>（ヒルベルトは数学の危機と思ったらしい）

所感追加
１）ヒルベルト・プログラムが 1900年ころ
２）公理的集合論 特にZFC誕生（選択公理・Zorn補題などが 一般の数学に導入され ベクトル空間の基底存在が証明できた）
３）強制法・多宇宙論・圏論など 後の発展の基礎を作った
４）コンピューターサイエンスへの影響：数学ロジック屋さんが コンピューターでも活躍、コンピューター時代を先取り
　（クヌースさんのTeXは有名。圏論の米田さんもAlgolに取り組んだり）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9
ドナルド・アーヴィン・クヌース[1]（1938年1月10日 -）漢字名は高徳納（高�ｺ纳）
コンピュータによる組版システム TeX とフォント設計システム METAFONT の開発者
1963年、カリフォルニア工科大学で数学の博士号を取得

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
ヒルベルト・プログラム
概要
ヒルベルトは、その証明を形式化することで、数学全体の完全性と無矛盾性を示そうと考えた
1.数学において真である命題は必ず証明できること
2.公理から形式化された推論をどれだけ行っても、矛盾が示されることは絶対にないということ
という事実を、有限の立場と呼ばれる確かな方法を用いて証明しようとする計画である
有名なヒルベルトの23の問題の2番目で、実数論の無矛盾性の証明を挙げている（よく自然数論の無矛盾性をさすものと誤解されている）
1900年をはさんだ数年間に、数学の一部である集合論においていくつもの矛盾（パラドックスと呼ばれる。集合論の項を参照）が発見された。ヒルベルト・プログラムは、単にその矛盾を取り除く（＝無矛盾性）だけではなく、今後二度とこのような矛盾が現われないように、数学全体に確固とした基盤（＝完全性）を与える目的があった
この計画は、1930年にクルト・ゲーデルが発表した不完全性定理により深刻な影響を受けた。とりわけ「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば自身の無矛盾性を証明できない（第2不完全性定理）」は、有限な立場のみではあらゆる公理系の無矛盾性を証明できないとするもので、ヒルベルト・プログラムでは自然数論だけでなく、実数論、さらには集合論全体の無矛盾性をも、自然数論のような基本的な体系の上で示すことを目的としていたため、この定理によって大きな修正を迫られることになった。
ただしヒルベルト・プログラムは否定されたわけではなく、現在でも研究が続けられている
→「不完全性定理が成立しない体系」および「ゲーデルの完全性定理」

(引用開始)
>個人的な所感を書くと
>・19世紀末から20世紀はじめの 公理的集合論の構築は 意味があったと思う
>（ヒルベルトは数学の危機と思ったらしい）
所感追加
１）ヒルベルト・プログラムが 1900年ころ
２）公理的集合論 特にZFC誕生（選択公理・Zorn補題などが 一般の数学に導入され ベクトル空間の基底存在が証明できた）
３）強制法・多宇宙論・圏論など 後の発展の基礎を作った
４）コンピューターサイエンスへの影響：数学ロジック屋さんが コンピューターでも活躍、コンピューター時代を先取り
　（クヌースさんのTeXは有名。圏論の米田さんもAlgolに取り組んだり）
(引用終り)

少し個人的感想を追加する
１）ヒルベルト・プログラムの功績は、一階述語論理による公理化(例ZFC)を推し進めたこと
　および その限界を明らかにしたこと
（下記 一階述語論理ご参照。あたかもコンピューターの言語。機械語に近い。細かい議論向き？）
２）ZFCは、下記 安藤遼哉に解説があるが、私見ですが カントール素朴集合論を公理化するための
　必要最小限の簡素な一階述語公理（フルパワー選択公理をDCに緩められる説もあるが、ACの方がスッキリ）
　要するに、細かい話として 一階述語が使いやすいのでしょう
　が、人には分りにくい。日常では 一階述語使わない
３）ヒルベルト・プログラムは ゲーデルにより軌道修正を迫られたが
　多くの数学者は、ZFC完成とその後の議論で「まあ 矛盾は見つからんし 使えるんじゃないの」と
（余談：いまの コンピューターシステム vs AIハッキング みたく、いまは使えているから使おうぜの段階か
　この先 数学AIが ZFC代案を出すかもしれない。それはそれ）
４）で、一階述語：P→Q 矛盾したPで、P→Qは真 だが
　これはこれ。人間の日常会話では 『P→Qで 矛盾したPで、P→Qは真』ではない
　「おれだよおれ 母さん100万円用意して 受け子に渡してくれ 事情はｘｘ」の話を真に受ける人 少ない（＾＾
　日常会話では、真っ先に「Qは真」か？ が疑われる
　”0＝1”を認めると、何でも成り立つ！？ 普通の数学者「おまえは馬鹿か？一階述語かぶれだな」
　でしょうね
　これも、巨大基数公理による効用だろう
　すなわち、一階述語かぶれダメ 絶対！ を明らかにした！！■

＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

数学成熟度 Mathematical maturity https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_maturity
(google訳)
"タオは次のようにアドバイスしています。
厳密な数学的思考に十分慣れたら、その主題に関する直感を再検討し、新しい思考スキルを使用して、直感を捨てるのではなくテストし、改良する必要があります。
厳密さと理論の確固たるスキルを身につけた数学の学生は、視点が数学に対するより包括的なパノラマ的見方へと移り、最終段階へと移行します"

テンプレは以上です

追加
数学は 演繹でなく帰納だと
高木先生 この精神を忘れてはいけない

(参考)
https://www.vrp-p.jp/acpedia/4775/
ACPEDIA （ペンネーム：活用算方）
コラム 2024年11月11日 (月)
数学は自然科学か（その２）
５．高木貞治氏の御言葉
恩師の恩師に当たる高木貞治氏の『近世数学史談』からの御言葉を引用します。
“ガウスが進んだ道は即ち数学の進む道である。その道は帰納的である。特殊から一般へ！それが標語である。数学が演繹的であるというが、それは既成数学の修行にのみ通用するのである。自然科学に於ても一つの学説が出来てしまえば、その学説に基づいて演繹をする。しかし論理は当り前なのだから、演繹のみから新しい物は何も出て来ないのが当り前であろう。若しも学問が演繹のみにたよるならば、その学問は小さな環の上を永遠に周期的に廻転する外はないであろう。我々は空虚なる一般論に捉われないで、帰納の一途に精進すべきではあるまいか”
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~tshun/20231014s.pdf
実験数学2023/10/14, 第46回科学技術セミナーShunsuke Tsuchioka（TokyoTech）

https://www.mathsoc.jp/activity/anniversary/takagi300/sugaku1203133.html
日本数学会
高木貞治５０年祭記念事業
「高木先生の思い出」（菅原 正夫）--「数学」12巻3号より
先生は常に数学, 否一般に, 学問は '帰納の一途を精進すべき'ことを強調されましたが先生の研究は正にその典型であります

https://www.mathsoc.jp/assets/pdf/publications/tushin/backnumber/0303/hasegawa3-3.pdf
書評 高木貞治著「近世数学史談・数学雑談」（復刻版・合本） 共立出版，1996年，
（注 いまでは筑摩文庫）
・・初学者には有難いことで、しかもそれが日本語で読めるのだ。
さらに重要なのは、数学の研究とは何であるかについて、高校程度の最小限の予備知識で可能なかぎり示されていることであろう。（しかも御丁寧なことに、主な登場人物たちは彼らと同じ年代で活躍をはじめる。）数学は止ってはいないとはいっても、実際には一体何をしているのか？というのが、数学科の学生であってもなかなか得心できず、また伝えるにも難しいところである。用語をならべても、また絵を書いてみたりしても、なかなか真意は伝わらない。数学の研究もまた帰納というべきであり演繹は手段である、と言いはするが、その好例はなかなか示しうるところにないように思う。数学において、知りたいと思う目標がいかにありうるか、それをこの本では初学者の目にもあきらかにしてくれる。ガウスの驚異的能力を知らしめる算術幾何平均の項、そしてアーベルの明解を味わえる「初発の楕円函数論」の項などである。

（やっぱり他人に次スレ作られたくないからこんな早くに作ってしまうか）

テンプレです
>・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
>　↓
>・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」

>「正則行列くらい知っている」と平凡に答えずに
>ひねって 「零因子行列のことだろ？知っているよ」にした

テンプレです
>記号の濫用として a'2 ⊂UB1が ありか どうか？ ありでは？

テンプレです
>>UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる
>小さくする仕方が不明
>>具体的な仕方は不要。
>>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。
>ハウスドルフだからと書いたとしたら
>正則との違いを理解してない？と思われるだけかも
>>このスレには
>>位相空間論の初学者もいると思うので
>>はっきり否定させてもらうが
>>１）ハウスドルフは 空間の公理として普通に指定されるケースが多い
>>２）ハウスドルフ性は、良い性質を持つ
>>３）その肝が 分離性で 分離可能の一言 でだいたい片付くよ

テンプレです
>まず、確率分布Prを定義するには、確率空間から始めないと学部数学の確率論にならない
>確率空間をどう定義しているのか
>次に、Pr(Bn,b)=1/n n∈N ならば
>Σ n=0〜∞ Pr(Bn,b)＝Σ n=0〜∞ 1/n ＝∞（∵1/nの無限和が発散するのは有名な事実）
>なので、明白に Pr(Ω)≠1 ですよ(ここにΩは全事象)

テンプレです
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1774707956/626
>選択公理は存在のみなので 使えないので無視して、人の意思で代表をえらぶ

テンプレです
>>どの無限列を入れるかは自由だが、確率変数にするかしないか、の自由はない
>>つまり、一回入れたら二度と変更できない
>>毎回の試行で変更することは決して許されない
>そこ、吉田大学の札付きでも同じだよ
>そこを読めてないのは おまえ

テンプレです
>>なぜなら箱入り無数目では箱の中身はすべて定数だから
>誤解ですよ
>箱の中身は、現代数学の確率論で扱えるよ
>「箱の中身はすべて定数だから」？
>あほか
>重川を読め

テンプレです
>　まず 先頭の幾つかをあける。株価で1円単位とすると 例えば下記ソニーで 3234 ・・・と出る
>　次に、かなり離れた 後のしっぽを全部開けると 2000代とか3000代の整数が分る
>　そこから 先頭側としっぽ側とで 狭めていって 先頭からD番目を残して 前後を開ける
>　もし、「株価かな？」と見当がつけば、ブラック–ショールズ方程式に乗せてみる
>　それ以外には、統計処理で平均値を出したり 標準偏差を計算したりもありだ
>　そして D番目を推察するのだ

テンプレです
>そこを 箱入り無数目のように 列の自由選択に変更すれば
>「1/2に出来る」と誤読している人がいるが
>しかしそれでは、数学ストーリーとしてヘンｗ
>数学ストーリーは、札付き定理の完全否定！■

テンプレです
>>「実数の構成に選択公理が必要」という君の独自説がそんなに面白いかい？
>
>必要だ。簡単に カントールの実数の構成 有理コーシー列を使う場合に限定するよ
>有理コーシー列は、加算無限有理数列だ。要するに、有理数Qから有理数を取り出して
>q0,q1,q2,・・,qi,・・ なる無理数rに収束する列を作る（細かくは rに収束する列は一つに限らないから 同値類を考える）
>q0,q1,q2,・・,qi,・・は、集合の元を整列させているってこと
>つまりは、整列可能定理が使える
>列長さが ω（＝最初の無限順序数）のときは、可算選択公理で足りる
>が、なんらの選択公理の不使用 つまり 可算選択公理さえ使わないならば
>加算無限有理数列は、構成できない！

テンプレです
>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
>『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾

テンプレです
>>Nは無限集合ですからQ^Nは普通はデカルト積とは呼ばないでしょうね
>赤ペン
>１）”Nは無限集合ですから”がダメ
>２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
>　を考えた故事をしらないんだね
>　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ

テンプレです
>・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
>　完備であることの証明はできない

テンプレです
>可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは・・
>1）コーシー列とデデキントカットの同値は言えない（別物？）

テンプレです
>おかしいねよ？ 可算選択公理ACω なしで 実数の構成できると言った人がいたけど
>たしかに、形式的には デデキントカット、コーシー列も それらしい まねごとは出来たとしても
>ガウスやコーシー、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキント、カントール、ヒルベルト
>らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね
>
>可算選択公理ACω なしで構成した 実数の責任は？
>だれが どうとる？

テンプレです
>Jech, T The Axiom of Choice. North-Holland. Jelonek 1973
>CH.2, THE COUNTABLE AXIOM OF CHOICE
>P21の画像 を見て貰えば分るが
>THE COUNTABLE AXIOM OF CHOICEは
>コーシー列の収束を証明するのに重要な役割をしている

テンプレです
>異なる自然数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>書かれている自然数の大きい方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？
>(引用終り)
>
>１）全体集合を場合分けする
>　ケース１ ある大きなしかし有限の自然数Mを取って 0〜Mのカードで考える
>　ケース２ 無限集合の自然数N全体を考える
>２）ケース１では、0〜Mのカードは 離散一様分布を成す（下記）
>　期待値（平均値）や 分散も存在する
>　この場合、A,Bの勝つ確率は おのおの1/2
>３）ケース２では、確率は考えられない
>　なぜならば、無限集合たる自然数N全体は、非正則分布を成すから（下記）

テンプレです
>(引用開始)
>偶数と奇数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>偶数を引いた方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？
>(引用終り)
>
>良い指摘だ
>いま、箱の中は 偶数1枚と奇数1枚の計2枚のみとする
>全体の数が2枚で有限だから
>普通に確率計算が可能で
>A,Bの勝つ確率は 各1/2ずつ

テンプレです
>・箱入り無数目 は、私が立てた
>・IUTのシン応援スレも 私
>・各種ガロアスレのうち
>　純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (816)
>　ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ19 (247)
>　の2つは私が立てた
>
>因みに、下記の数学勢いランキング
>1〜11で 4、5、7、10の4つを除く
>7個は 全部私が立てたんだよね

テンプレです
>>（ランダムってのは確率空間の話では？定義も無くてランダムとはね）
>
>素人か（＾＾
>下記乱数分かりますか？
>乱数も知らずに 箱入り無数目を論じるかね？ｗ
>
>箱入り無数目>>1 において 箱に 下記 乱数列を発生させて入れていく
>箱入り無数目で当てられるとすれば、乱数の定義に反する
>まさに 縦と矛 矛盾なり！
>
>真の乱数列とは？ 他の数を見ても 当てることはできない！！
>他の数を見て 当てることができるならば・・、それは真乱数ではない！！ｗｗｗ
>
>まあ、素人には理解できないだろうね
>（この議論は、１０年以上前 箱入り無数目の初期に書いている）

テンプレです
>”その「御大」も底が知れてる”？ まあ、そこは同意だよ。

テンプレです
>誤：（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）
>　↓
>正：（Setは単なる集合の圏で積の定義なし。一方モノイダル圏即ちテンソル圏はテンソル積が定義された圏である。集合の圏Setは、なんらの積も定義されていないので、テンソル積が定義された圏であるモノイダル圏即ちテンソル圏とは、全く異なる圏である■）

テンプレです
>ところが、天才グロタンディクは 圏論を使う代数幾何には
>ZFCじゃ狭い！ だから 広くしようぜと言った
>それが グロタンディク宇宙で ちょうど研究されていた到達不能基数の理論とマッチングアプリ

テンプレかなあ？
>注＊）実話で おれの親父が 暮らしていた実家で（おれは家を出ていた）、少し離れたらところに 団地の八百屋さんがあって
>　八百屋のおかみさんから 綺麗な字の手紙 見ると「（おやじが）近所の人と一緒になって 自分を四六時中監視している 見張っているので やめろ」と書いてあった
>　すぐ ウソと分った（被害妄想）。おやじは、近所付き合いはあまりしないし、”一緒になって”とかありえなない（一人ならまだしも（＾＾）
>　あとで、ちょっとノイローゼ気味と聞いた。しばらくして 引っ越していった

>もう少し書いておくと 手紙は姉さんから見せられたと思う
>なんか夜中も含めて 一日中24時間ずっと みなが自分を監視しているみたく
>その首謀者が、おれの親父みたいなことが書いてあった
>仔細は知らないが 店は歩いて3〜5分のところの四つ辻の角で
>八百屋の向いが、たばこ屋さん 息子が ぼくと同窓生で同じ中学に通った
>（実は、小学校でも同窓だったが、彼の方が早く転校してきていたんだ。新しく開発された団地でね）

テンプレです
>”集合論では、超フィルターは、構成可能性の公理が可測基数 κの存在と両立しないことを示すために用いられる。”
>”ゲーデルによる神の存在論的証明は、すべての「肯定的性質」の集合が超フィルターであることを公理として用いている。”
>
>これらから導かれること
>１）”超フィルター（ultrafilter）"は、ZFC内に収まることもあれば、
>　ZFC内に収まらないこともある
>２）それは、”超フィルター（ultrafilter）"を使う人の立場による
>
>よって、”超フィルター（ultrafilter）"は
>常に ZFC内だと 倒錯している人が
>一人存在することが証明された■

テンプレです
>おそらく
>集合論論による代数幾何＋α → 圏論による代数幾何
>で、チョロと1回グロタンUをもってくれば 終り だと思う？ しらんけど

テンプレです
>ノイマン宇宙Vままだと 宇宙が狭い。Vの外に出ると そこは集合ではなく クラス（類）になる
>グロタンディク宇宙Uは、Vを広げて Vならクラス（類）になる対象を包含できるようにする
>後世の人「おまいら それ 到達不能基数の議論と同値じゃん」と指摘したらしい

テンプレです
>うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数で この順に大きくなり Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙
>
>これより
>・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
>・κの存在証明が不可能は、良いだろう
>以上

テンプレです
>４）では、到達不能とは なんなのじゃ？ と問えば
>　それは、2^R とか 集合べきを ZFCの中で 超限回繰り返す その外に
>　おわします 神の基数なり！
>　あたかも ZFCの中で 超限回繰り返しは人の作る基数であって
>　到達不能は、ZFCで人が考え得る外の基数なり！

テンプレです
>　κ未満の 全て(any)の ordinal number βについての Vβの和である（定義より）
>　繰り返すが 全て(any)の ordinal number βを尽くす和
>　従って Vκには V中の全てのVβを含む
>　従って V⊂Vκ （再度強調するが Vκは 集合という設定（到達不能基数公理より従う））■

テンプレです
>射影幾何では 平行線は 例えば左右2方向で それぞれが 左と右と二つの無限遠点を持つとできる（全ての平行線で同様）■

テンプレです
>１）Q係数の5次既約方程式のガロア群は対称群S5になる。それは交代群A5を正規部分群として持つ

テンプレです
>IUTは、ガリレオ天動説です
>だんだん、理解され受け入れられてきたよ

テンプレです
>１）この The Absolute Universe (V) は、下記 Large cardinal hierarchyの図の頂点
>　即ち 0＝1 （V_0＝1）のことだ

テンプレです
>そもそも 到達不能基数κには 定義とその解説がある
>それを素直に読んで 理解すべきところを
>読んでも理解できないし
>そのうえ誤解の複雑骨折
>パッパラパーｗ

テンプレです
>１）” Vκ⊊V ”：V内は ZFCから証明できる集合だが
>　到達不能基数κは ZFCから証明できないので 矛盾！
>２）”Vκ は集合ですが、V は真クラスだからです”
>　は、典型的なロジックの誤り
>　つまり、ZFCではクラスだが タルスキ・グロタンディクでは集合になる例がある
>　それが、グロタンディクUがノイマンVの非保存拡大の意味

テンプレです
>　V:=⋃α Vα.であって さらに Vαは”called stages 略”だという（格好良く ”stage”とするよ）
>　で、各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である

テンプレです
>２）これは 下記 超実数（ hyperreal number）で 無限大と無限小を含む
>　別に 拡大実数 通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系（リーマン球面は無限大は一つ 複素数で+も-も同じ）
>３）これZFCの中だろ？ しらんけど 磯野優介先生に聞いてみなよｗ（＾＾
>　（少なくとも 拡大実数 +∞までは ZFCの中で あとは 無限小を ZFCでどう料理するかだけでしょｗ）
>４）”実数論の公理”？ 筆が滑ったか？
>　実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ

テンプレです
>１）数学者は 数学をZFCの中ではやってない
>　数学をZFCの外でやって 「これZFCの中だよね」って 確認するんだよ
>　君は そこが 根本的に滑っている
>２）例を示す 下記 Von Neumann universe First 5 von Neumann stages の図解があるよ
>　"the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe"
>　(集合V6は2^65536個の要素を含んでおり、これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている)
>　分かりますか？ Von Neumann universe 集合V6「これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている」
>　V6は当然序の口で これ以上は具体的に描けないし 描いても無駄だ
>３）このステージが ωを越えて ω^2 も越えて ・・ ω^ω（可算）も越えて 非可算の2^ωになって さらにさらに限りなく（超限）つづく
>　その外に 到達不能基数κさまが居るって想定なわけ
>　到達不能基数κさまは、ZFCの外で ラスボスか神か という存在なわけ
>　ZFCとは そういうゲームなんだよ 覚えておいてねｗ（＾＾

テンプレです
>”「与えられたどんな順序数βよりも大きな順序数αで
（中略）
>繰返すが、”どんな順序数βよりも大きな順序数α”

テンプレです
>１）チャッピーさんが、ハルシっている理由は 数学史が分かっていないので

テンプレです
>決定番号d1,d2の確率が0であるにも関わらず d1>d2の確率1/2云々と論じても
>　結局 (1/2)*0＝0 即ち 確率が0の話をしていることになり ナンセンス■

テンプレです
>４）で、一階述語：P→Q 矛盾したPで、P→Qは真 だが
>　これはこれ。人間の日常会話では 『P→Qで 矛盾したPで、P→Qは真』ではない
>　「おれだよおれ 母さん100万円用意して 受け子に渡してくれ 事情はｘｘ」の話を真に受ける人 少ない（＾＾
>　日常会話では、真っ先に「Qは真」か？ が疑われる
>　”0＝1”を認めると、何でも成り立つ！？ 普通の数学者「おまえは馬鹿か？一階述語かぶれだな」

>>19
>（やっぱり他人に次スレ作られたくないからこんな早くに作ってしまうか）

ふっ
ハズレだ

１）前スレが900を超えると 無意味に埋めに走る人が出ることがある
２）前スレに 次スレのリンクを入れておくのが綺麗で 繋がる
３）そのためには、前スレ900超えの加速を織込んで 早めに立てた

それだけ
なお、他人が次スレ作を立てたこと（経験）はあるが
あとから、同名のスレを立てて ことごとく潰してきた

まあ、それも一手間余計だし 読者の不便だし
”前スレに 次スレのリンクを入れておくのが綺麗”に反する
というだけ（＾＾

〇違い１がなんか吠えとる

（図星だったみたい）

ふっ
近藤 友祐 神戸大学工学部電気電子工学科2年 （平成27当時）
の 集合論の初歩 貼る
（近藤 友祐 神戸大 電気電子工学科2年
　あんたらよりしっかりしているぞｗ（＾＾）

下記 P3より
”内容
第1部：素朴集合論と公理的集合論
素朴集合論上の数学の展開
Russell のパラドクス
公理的集合論
第2部：順序数
順序数の定義
Burali-Forti の定理”

見れば分るが 公理的集合論で ＺＦＣ中で
順序数は完結している！

P35
Theorem 21 (Burali-Forti の定理)
順序数全体からなるクラスは真のクラスである．

P37
累積的階層V (ノイマン宇宙)

P42
無限基数とℵ函数
実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
Lemma 29
任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
　つまり ZFC内任意の無限基数κは、κ= ℵα！ 到達不能基数κなら別に公理要！！）

これを しっかり、音読しよう！！

(参考)
http://elecello.com/
自己紹介
概要
氏名： 近藤 友祐 (KONDO, Yusuke)
https://elecello.com/works.html
集合論ノート
https://elecello.com/doc/2016/02/pombSet.pdf
集合論の初歩
平成27年度POMB最終報告会
近藤友祐
神戸大学工学部電気電子工学科2年,学生団体POMB
February 22, 2016

>>66
>P42
>無限基数とℵ函数
>実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
>Lemma 29
>任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
P42のどこにも
>（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
>　つまり ZFC内任意の無限基数κは、κ= ℵα！ 到達不能基数κなら別に公理要！！）
なんて書かれてないが。

>これを しっかり、音読しよう！！
君は何をしっかり音読したの？　日本語が読めないの？　じゃあ小学校からやり直し

アメンボ赤いなあいうえおw

>>68
お前は隔離スレから出て来んな
数学をヤレ数学をや

やってるっちゅーの。
5色定理とか知ってんのかえ。

>>69
平面グラフの5点彩色可能定理の証明を即答できんのなら、数学をヤレなんて言うなっちゅーのw

>>67
(引用開始)
>P42
>無限基数とℵ函数
>実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
>Lemma 29
>任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
P42のどこにも
>（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
>　つまり ZFC内任意の無限基数κは、κ= ℵα！ 到達不能基数κなら別に公理要！！）
なんて書かれてないが。
(引用終り)

ふっ
１）コンテキストだよ
（下記 APAN AI ラボ コンテキストとは？ ご参照
『正確な理解にはコンテキストの把握が欠かせません』）
２）>>66 近藤 友祐 集合論の初歩 https://elecello.com/doc/2016/02/pombSet.pdf
　P11 ZFC公理系と呼ばれる公理系が標準的
　P12 ここで指定するのがZFCの公理である
　P13 ZFCの公理 Part 1
　など
３）コンテキスト：集合論の初歩であり 扱うのは 標準的公理系ZFC■
以上

近藤 友祐 集合論の初歩 全ページ しっかり音読しよう！
きみたち 神戸大 電気電子工学科2年より下ってこと 自覚しようねｗ（＾＾

(参考)
https://japan-ai.co.jp/media/10078/
JAPAN AI ラボ
コンテキストとは？意味とビジネスやAI文脈における使い方
2026年9月9日
コンテキストとは？
コンテキストとは、英語の「context」に由来するカタカナ語であり、言葉や行動が生まれる文脈・背景・状況・前後関係を意味します。同じ言葉であっても、どのような状況で発せられたかによって意味が大きく変わるため、正確な理解にはコンテキストの把握が欠かせません。

>>71
ホラな
必ず上から目線
しかも自分が出来ない出題をして恥じないマウントゲス爺

>>72
>１）コンテキストだよ
じゃあ書いてあるページを言え
どこにも書かれてないコンテキストなんてありえんよな？

>>72
>P11 ZFC公理系と呼ばれる公理系が標準的
>P12 ここで指定するのがZFCの公理である
>P13 ZFCの公理 Part 1
え？？？
まさかこれだけで
>P42
>無限基数とℵ函数
>実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
>Lemma 29
>任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
>（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
とか言ってんの？
コンテキストが読めてないのは君。小学校からやり直し

>>75
ふっふ、ほっほ

”>>66 近藤 友祐 集合論の初歩 https://elecello.com/doc/2016/02/pombSet.pdf”
を意図的に抜いたかい？（＾＾

”コンテキスト：集合論の初歩であり 扱うのは 標準的公理系ZFC”
これ以外の読み方をおしえてくれｗｗ

>>66
＞Lemma 29　任意の無限基数κに対し，ある順序数αが存在し，κ= ℵα.

次のLemmaも書いてくれよ

Lemma 30　ある順序数 µ が存在し，ℵµ = µ.

ただZFCで証明できるμはみな特異基数なので、到達不能基数ではないけど
（正則基数であることが必要だから）

＞”コンテキスト：集合論の初歩であり 扱うのは 標準的公理系ZFC”

ZFCに限らないが、
公理系で存在する対象＝公理系で存在が証明できる対象
というコンテキストはどこにあるのかい？

君が勝手にそう妄想しただけでしょ

群論で上記の解釈をした場合、
群で存在する元は単位元だけになるのだが（笑）

自明な群（単位群）以外の群の単位元以外の元の存在は、
群論の公理だけでは証明できないのだが

集合論のモデルというのは、個々の群と同じようなものである
つまり、到達不能基数がないものもあれば、あるものもある

Ｖはモデルによって違うのであって
勝手にどのモデルでも存在する元だけに限定してはいけない
そうしたければ必ずそのように但し書きを書くこと

これ豆な