到達不能基数・巨大基数研究2

前スレが 1000または1000近くなったので 次スレ立てる
前スレ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1791259233/1-

到達不能基数で
倒錯人がいる
中高生一貫校生も来るので
スレ立てる
まずは、下記など
以下順次

(google検索)
到達不能基数 モデル pdf
＜AI による概要＞
到達不能基数（inaccessible cardinal）が強到達不能基数である場合、フォン・ノイマン階層の Vκ は ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）の集合的モデルになります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0

到達不能基数とモデルの基本性質
・強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たすとき、強到達不能基数と呼びます。
・ZFCのモデル Vκ：κ が強到達不能基数ならば、累積階層の切り口であるVκ は ZFC公理系のモデル（標準モデルの構造）になります。
・無矛盾性の強さ：κ の存在は ZFC 自身からは証明も否定もできず（不完全性定理）、その存在を仮定することは ZFC の無矛盾性を ZFC よりも強い仮定として認めることに相当します。
・弱到達不能基数とLκ：κ が弱到達不能基数の場合、ゲーデルの構成可能集合の累積 Lκ は ZF（選択公理を含まない系）のモデルになります。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/ishii.pdf Lebesgue 可測性に関するSoloayの定理と実数の集合の正則性1石井大海筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士前期課程二年 2015
関連するオンラインの講義資料やPDFとしては、次のような解説が公開されています。
・公理論的集合論（情報科学特別講義 III）のPDFでは、到達不能基数と Vκ がモデルになる証明の概要が扱われています。
・ゲーデルの L とゼロ・シャープのPDFでは、可測基数や到達不能基数の性質について解説されています。
https://www.scribd.com/document/369587873/%E5%85%AC%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96-%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A6%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E7%BE%A9-III
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）矢田部俊介 2013 京都大学

さらに詳しく知りたい場合は、以下の中からお知らせください。
•Vκが各公理（置換公理やべき集合公理など）を満たすことの証明の細部
・グロタンディーク宇宙（Grothendieck universe）との関連

(参考)
https://tenasaku.com/academia/
https://tenasaku.com/academia/notes/advent-20191204.pdf
ゲーデルのLとゼロ・シャープジタさん(fujitapiroc1964@twitter) 2019 年12月4日

テンプレです
>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
>『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾

テンプレです
>>Nは無限集合ですからQ^Nは普通はデカルト積とは呼ばないでしょうね
>赤ペン
>１）”Nは無限集合ですから”がダメ
>２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
>　を考えた故事をしらないんだね
>　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ

テンプレです
>・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
>　完備であることの証明はできない

テンプレです
>可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは・・
>1）コーシー列とデデキントカットの同値は言えない（別物？）

テンプレです
>おかしいねよ？ 可算選択公理ACω なしで 実数の構成できると言った人がいたけど
>たしかに、形式的には デデキントカット、コーシー列も それらしい まねごとは出来たとしても
>ガウスやコーシー、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキント、カントール、ヒルベルト
>らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね
>
>可算選択公理ACω なしで構成した 実数の責任は？
>だれが どうとる？

テンプレです
>Jech, T The Axiom of Choice. North-Holland. Jelonek 1973
>CH.2, THE COUNTABLE AXIOM OF CHOICE
>P21の画像 を見て貰えば分るが
>THE COUNTABLE AXIOM OF CHOICEは
>コーシー列の収束を証明するのに重要な役割をしている

テンプレです
>異なる自然数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>書かれている自然数の大きい方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？
>(引用終り)
>
>１）全体集合を場合分けする
>　ケース１ ある大きなしかし有限の自然数Mを取って 0〜Mのカードで考える
>　ケース２ 無限集合の自然数N全体を考える
>２）ケース１では、0〜Mのカードは 離散一様分布を成す（下記）
>　期待値（平均値）や 分散も存在する
>　この場合、A,Bの勝つ確率は おのおの1/2
>３）ケース２では、確率は考えられない
>　なぜならば、無限集合たる自然数N全体は、非正則分布を成すから（下記）

テンプレです
>(引用開始)
>偶数と奇数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>偶数を引いた方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？
>(引用終り)
>
>良い指摘だ
>いま、箱の中は 偶数1枚と奇数1枚の計2枚のみとする
>全体の数が2枚で有限だから
>普通に確率計算が可能で
>A,Bの勝つ確率は 各1/2ずつ

テンプレです
>・箱入り無数目 は、私が立てた
>・IUTのシン応援スレも 私
>・各種ガロアスレのうち
>　純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (816)
>　ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ19 (247)
>　の2つは私が立てた
>
>因みに、下記の数学勢いランキング
>1〜11で 4、5、7、10の4つを除く
>7個は 全部私が立てたんだよね

テンプレです
>>（ランダムってのは確率空間の話では？定義も無くてランダムとはね）
>
>素人か（＾＾
>下記乱数分かりますか？
>乱数も知らずに 箱入り無数目を論じるかね？ｗ
>
>箱入り無数目>>1 において 箱に 下記 乱数列を発生させて入れていく
>箱入り無数目で当てられるとすれば、乱数の定義に反する
>まさに 縦と矛 矛盾なり！
>
>真の乱数列とは？ 他の数を見ても 当てることはできない！！
>他の数を見て 当てることができるならば・・、それは真乱数ではない！！ｗｗｗ
>
>まあ、素人には理解できないだろうね
>（この議論は、１０年以上前 箱入り無数目の初期に書いている）

テンプレです
>”その「御大」も底が知れてる”？ まあ、そこは同意だよ。

テンプレです
>誤：（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）
>　↓
>正：（Setは単なる集合の圏で積の定義なし。一方モノイダル圏即ちテンソル圏はテンソル積が定義された圏である。集合の圏Setは、なんらの積も定義されていないので、テンソル積が定義された圏であるモノイダル圏即ちテンソル圏とは、全く異なる圏である■）

テンプレです
>ところが、天才グロタンディクは 圏論を使う代数幾何には
>ZFCじゃ狭い！ だから 広くしようぜと言った
>それが グロタンディク宇宙で ちょうど研究されていた到達不能基数の理論とマッチングアプリ

テンプレかなあ？
>注＊）実話で おれの親父が 暮らしていた実家で（おれは家を出ていた）、少し離れたらところに 団地の八百屋さんがあって
>　八百屋のおかみさんから 綺麗な字の手紙 見ると「（おやじが）近所の人と一緒になって 自分を四六時中監視している 見張っているので やめろ」と書いてあった
>　すぐ ウソと分った（被害妄想）。おやじは、近所付き合いはあまりしないし、”一緒になって”とかありえなない（一人ならまだしも（＾＾）
>　あとで、ちょっとノイローゼ気味と聞いた。しばらくして 引っ越していった

>もう少し書いておくと 手紙は姉さんから見せられたと思う
>なんか夜中も含めて 一日中24時間ずっと みなが自分を監視しているみたく
>その首謀者が、おれの親父みたいなことが書いてあった
>仔細は知らないが 店は歩いて3〜5分のところの四つ辻の角で
>八百屋の向いが、たばこ屋さん 息子が ぼくと同窓生で同じ中学に通った
>（実は、小学校でも同窓だったが、彼の方が早く転校してきていたんだ。新しく開発された団地でね）

テンプレです
>”集合論では、超フィルターは、構成可能性の公理が可測基数 κの存在と両立しないことを示すために用いられる。”
>”ゲーデルによる神の存在論的証明は、すべての「肯定的性質」の集合が超フィルターであることを公理として用いている。”
>
>これらから導かれること
>１）”超フィルター（ultrafilter）"は、ZFC内に収まることもあれば、
>　ZFC内に収まらないこともある
>２）それは、”超フィルター（ultrafilter）"を使う人の立場による
>
>よって、”超フィルター（ultrafilter）"は
>常に ZFC内だと 倒錯している人が
>一人存在することが証明された■

テンプレです
>おそらく
>集合論論による代数幾何＋α → 圏論による代数幾何
>で、チョロと1回グロタンUをもってくれば 終り だと思う？ しらんけど

テンプレです
>ノイマン宇宙Vままだと 宇宙が狭い。Vの外に出ると そこは集合ではなく クラス（類）になる
>グロタンディク宇宙Uは、Vを広げて Vならクラス（類）になる対象を包含できるようにする
>後世の人「おまいら それ 到達不能基数の議論と同値じゃん」と指摘したらしい

テンプレです
>うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数で この順に大きくなり Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙
>
>これより
>・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
>・κの存在証明が不可能は、良いだろう
>以上

テンプレです
>４）では、到達不能とは なんなのじゃ？ と問えば
>　それは、2^R とか 集合べきを ZFCの中で 超限回繰り返す その外に
>　おわします 神の基数なり！
>　あたかも ZFCの中で 超限回繰り返しは人の作る基数であって
>　到達不能は、ZFCで人が考え得る外の基数なり！

テンプレです
>　κ未満の 全て(any)の ordinal number βについての Vβの和である（定義より）
>　繰り返すが 全て(any)の ordinal number βを尽くす和
>　従って Vκには V中の全てのVβを含む
>　従って V⊂Vκ （再度強調するが Vκは 集合という設定（到達不能基数公理より従う））■

テンプレです
>射影幾何では 平行線は 例えば左右2方向で それぞれが 左と右と二つの無限遠点を持つとできる（全ての平行線で同様）■

テンプレです
>１）Q係数の5次既約方程式のガロア群は対称群S5になる。それは交代群A5を正規部分群として持つ

テンプレです
>IUTは、ガリレオ天動説です
>だんだん、理解され受け入れられてきたよ

テンプレです
>１）この The Absolute Universe (V) は、下記 Large cardinal hierarchyの図の頂点
>　即ち 0＝1 （V_0＝1）のことだ

テンプレです
>そもそも 到達不能基数κには 定義とその解説がある
>それを素直に読んで 理解すべきところを
>読んでも理解できないし
>そのうえ誤解の複雑骨折
>パッパラパーｗ

テンプレです
>１）” Vκ⊊V ”：V内は ZFCから証明できる集合だが
>　到達不能基数κは ZFCから証明できないので 矛盾！
>２）”Vκ は集合ですが、V は真クラスだからです”
>　は、典型的なロジックの誤り
>　つまり、ZFCではクラスだが タルスキ・グロタンディクでは集合になる例がある
>　それが、グロタンディクUがノイマンVの非保存拡大の意味

テンプレです
>　V:=⋃α Vα.であって さらに Vαは”called stages 略”だという（格好良く ”stage”とするよ）
>　で、各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である

テンプレです
>２）これは 下記 超実数（ hyperreal number）で 無限大と無限小を含む
>　別に 拡大実数 通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系（リーマン球面は無限大は一つ 複素数で+も-も同じ）
>３）これZFCの中だろ？ しらんけど 磯野優介先生に聞いてみなよｗ（＾＾
>　（少なくとも 拡大実数 +∞までは ZFCの中で あとは 無限小を ZFCでどう料理するかだけでしょｗ）
>４）”実数論の公理”？ 筆が滑ったか？
>　実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ

テンプレです
>１）数学者は 数学をZFCの中ではやってない
>　数学をZFCの外でやって 「これZFCの中だよね」って 確認するんだよ
>　君は そこが 根本的に滑っている
>２）例を示す 下記 Von Neumann universe First 5 von Neumann stages の図解があるよ
>　"the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe"
>　(集合V6は2^65536個の要素を含んでおり、これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている)
>　分かりますか？ Von Neumann universe 集合V6「これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている」
>　V6は当然序の口で これ以上は具体的に描けないし 描いても無駄だ
>３）このステージが ωを越えて ω^2 も越えて ・・ ω^ω（可算）も越えて 非可算の2^ωになって さらにさらに限りなく（超限）つづく
>　その外に 到達不能基数κさまが居るって想定なわけ
>　到達不能基数κさまは、ZFCの外で ラスボスか神か という存在なわけ
>　ZFCとは そういうゲームなんだよ 覚えておいてねｗ（＾＾

テンプレです
>”「与えられたどんな順序数βよりも大きな順序数αで
（中略）
>繰返すが、”どんな順序数βよりも大きな順序数α”

テンプレです
>１）チャッピーさんが、ハルシっている理由は 数学史が分かっていないので

テンプレです
>決定番号d1,d2の確率が0であるにも関わらず d1>d2の確率1/2云々と論じても
>　結局 (1/2)*0＝0 即ち 確率が0の話をしていることになり ナンセンス■

テンプレです
>４）で、一階述語：P→Q 矛盾したPで、P→Qは真 だが
>　これはこれ。人間の日常会話では 『P→Qで 矛盾したPで、P→Qは真』ではない
>　「おれだよおれ 母さん100万円用意して 受け子に渡してくれ 事情はｘｘ」の話を真に受ける人 少ない（＾＾
>　日常会話では、真っ先に「Qは真」か？ が疑われる
>　”0＝1”を認めると、何でも成り立つ！？ 普通の数学者「おまえは馬鹿か？一階述語かぶれだな」

>>19
>（やっぱり他人に次スレ作られたくないからこんな早くに作ってしまうか）

ふっ
ハズレだ

１）前スレが900を超えると 無意味に埋めに走る人が出ることがある
２）前スレに 次スレのリンクを入れておくのが綺麗で 繋がる
３）そのためには、前スレ900超えの加速を織込んで 早めに立てた

それだけ
なお、他人が次スレ作を立てたこと（経験）はあるが
あとから、同名のスレを立てて ことごとく潰してきた

まあ、それも一手間余計だし 読者の不便だし
”前スレに 次スレのリンクを入れておくのが綺麗”に反する
というだけ（＾＾

〇違い１がなんか吠えとる

（図星だったみたい）

ふっ
近藤 友祐 神戸大学工学部電気電子工学科2年 （平成27当時）
の 集合論の初歩 貼る
（近藤 友祐 神戸大 電気電子工学科2年
　あんたらよりしっかりしているぞｗ（＾＾）

下記 P3より
”内容
第1部：素朴集合論と公理的集合論
素朴集合論上の数学の展開
Russell のパラドクス
公理的集合論
第2部：順序数
順序数の定義
Burali-Forti の定理”

見れば分るが 公理的集合論で ＺＦＣ中で
順序数は完結している！

P35
Theorem 21 (Burali-Forti の定理)
順序数全体からなるクラスは真のクラスである．

P37
累積的階層V (ノイマン宇宙)

P42
無限基数とℵ函数
実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
Lemma 29
任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
　つまり ZFC内任意の無限基数κは、κ= ℵα！ 到達不能基数κなら別に公理要！！）

これを しっかり、音読しよう！！

(参考)
http://elecello.com/
自己紹介
概要
氏名： 近藤 友祐 (KONDO, Yusuke)
https://elecello.com/works.html
集合論ノート
https://elecello.com/doc/2016/02/pombSet.pdf
集合論の初歩
平成27年度POMB最終報告会
近藤友祐
神戸大学工学部電気電子工学科2年,学生団体POMB
February 22, 2016

>>66
>P42
>無限基数とℵ函数
>実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
>Lemma 29
>任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
P42のどこにも
>（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
>　つまり ZFC内任意の無限基数κは、κ= ℵα！ 到達不能基数κなら別に公理要！！）
なんて書かれてないが。

>これを しっかり、音読しよう！！
君は何をしっかり音読したの？　日本語が読めないの？　じゃあ小学校からやり直し

アメンボ赤いなあいうえおw

>>68
お前は隔離スレから出て来んな
数学をヤレ数学をや

やってるっちゅーの。
5色定理とか知ってんのかえ。

>>69
平面グラフの5点彩色可能定理の証明を即答できんのなら、数学をヤレなんて言うなっちゅーのw

>>67
(引用開始)
>P42
>無限基数とℵ函数
>実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
>Lemma 29
>任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
P42のどこにも
>（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
>　つまり ZFC内任意の無限基数κは、κ= ℵα！ 到達不能基数κなら別に公理要！！）
なんて書かれてないが。
(引用終り)

ふっ
１）コンテキストだよ
（下記 APAN AI ラボ コンテキストとは？ ご参照
『正確な理解にはコンテキストの把握が欠かせません』）
２）>>66 近藤 友祐 集合論の初歩 https://elecello.com/doc/2016/02/pombSet.pdf
　P11 ZFC公理系と呼ばれる公理系が標準的
　P12 ここで指定するのがZFCの公理である
　P13 ZFCの公理 Part 1
　など
３）コンテキスト：集合論の初歩であり 扱うのは 標準的公理系ZFC■
以上

近藤 友祐 集合論の初歩 全ページ しっかり音読しよう！
きみたち 神戸大 電気電子工学科2年より下ってこと 自覚しようねｗ（＾＾

(参考)
https://japan-ai.co.jp/media/10078/
JAPAN AI ラボ
コンテキストとは？意味とビジネスやAI文脈における使い方
2026年9月9日
コンテキストとは？
コンテキストとは、英語の「context」に由来するカタカナ語であり、言葉や行動が生まれる文脈・背景・状況・前後関係を意味します。同じ言葉であっても、どのような状況で発せられたかによって意味が大きく変わるため、正確な理解にはコンテキストの把握が欠かせません。

>>71
ホラな
必ず上から目線
しかも自分が出来ない出題をして恥じないマウントゲス爺

>>72
>１）コンテキストだよ
じゃあ書いてあるページを言え
どこにも書かれてないコンテキストなんてありえんよな？

>>72
>P11 ZFC公理系と呼ばれる公理系が標準的
>P12 ここで指定するのがZFCの公理である
>P13 ZFCの公理 Part 1
え？？？
まさかこれだけで
>P42
>無限基数とℵ函数
>実は，あらゆる無限基数(以上の基数)はℵαの形をしている．
>Lemma 29
>任意の無限基数κに対し，ある順序数が存在し，κ= ℵα.
>（注：ここでのκは、あくまでZFC内。
とか言ってんの？
コンテキストが読めてないのは君。小学校からやり直し

>>75
ふっふ、ほっほ

”>>66 近藤 友祐 集合論の初歩 https://elecello.com/doc/2016/02/pombSet.pdf”
を意図的に抜いたかい？（＾＾

”コンテキスト：集合論の初歩であり 扱うのは 標準的公理系ZFC”
これ以外の読み方をおしえてくれｗｗ

>>66
＞Lemma 29　任意の無限基数κに対し，ある順序数αが存在し，κ= ℵα.

次のLemmaも書いてくれよ

Lemma 30　ある順序数 µ が存在し，ℵµ = µ.

ただZFCで証明できるμはみな特異基数なので、到達不能基数ではないけど
（正則基数であることが必要だから）

＞”コンテキスト：集合論の初歩であり 扱うのは 標準的公理系ZFC”

ZFCに限らないが、
公理系で存在する対象＝公理系で存在が証明できる対象
というコンテキストはどこにあるのかい？

君が勝手にそう妄想しただけでしょ

群論で上記の解釈をした場合、
群で存在する元は単位元だけになるのだが（笑）

自明な群（単位群）以外の群の単位元以外の元の存在は、
群論の公理だけでは証明できないのだが

集合論のモデルというのは、個々の群と同じようなものである
つまり、到達不能基数がないものもあれば、あるものもある

Ｖはモデルによって違うのであって
勝手にどのモデルでも存在する元だけに限定してはいけない
そうしたければ必ずそのように但し書きを書くこと

これ豆な

>>78
ですね