つづき

・つまりSergiu Hart氏 Choice Gamesのgame2でのProofで
　”The proof is the same as for Theorem 1, except that here
　we do not use the Axiom of Choice. Because there are only countably many sequences”とある通り
・要するに、Theorem 1 Proofで ”Apply the Axiom of Choice to choose an element in each
　equivalence class”とある通り
・結局、game1では、uncountably(非可算)、game2では、only countably many(可算)
　だから、game2では、フルパワー選択公理→可算選択公理で済むってことですよ

Sergiu Hart ”Choice Games”を、素直に読めば、上記の通りです

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理

選択公理の変種
可算選択公理
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
(引用終り)
以上