Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 76

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 75
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1757554210/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
About the study of IUT by Ivan Fesenko http://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/rapg.pdf https://ivanfesenko.org/?page_id=80
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

understandは下取り　言語傀儡。

馬がきれいに下取りをしてるの解るだろうか。

>>327
>一句”不勉強 オチコボレのさばる ●●板”
虚飾カラスの自嘲

>"虚飾で彩られたカラス"の真反対が、「巨人の肩の上」
>アイザック・ニュートンで有名だ
>先人の知恵を、存分に借りれば良いのです
虚飾カラス、借り羽で開き直り
巨人の肩の上に立っても、弱視で遠くがみえず、まったく無意味

>ソフトウェア界では、オープンソースソフトウェア、パブリックドメインソフトウェアがある。
>数学は全て オープンソースで 全て パブリックドメイン
>ソースを読むのも自由。使うのも自由。
>"虚飾で彩られたカラス"の真反対だ。一切の遠慮は無用
>但し、著作権は尊重すること。引用元を明示すること。
>私は 引用元を明示しています
理解できなきゃ、いくらコピペしても使えない
引用元を明示しても無駄　アーメン

>オチコボレさんのやっていることは 真逆だよ
>あたかも、自分の頭で考えた如く話すことが
>その実、ソースを隠しているか あるいは 昔学んでその事実を忘れているか
>その二択以外にはないんだろ？
>そっちの方こそ 自分で考えたことでないのに
>あたかも自分が考えたようによそおう 虚飾カラスでしょ！
ひとつ、重大な被害妄想があるね
「自分の頭で考えた如く」のところ
「自分で思いついた」の意味だろうが、
そんなことまではいってないよ
「他人が思い付いたことの意味が分かった」
という意味でしかいってない
まあ、意味が分かる程度には考えてるけどね　

虚飾カラスは意味がわかるまで考えてない
だから他人の発言にいちいちイラつくんだよ
でもそれは全部君の思索が見当違いなせい
自分の読み方、考え方に重大な欠陥があるんだよ　
だって大学１年生でもわかることだぜ
それ分かんないっておかしいでしょ

いちいち他人に嫉妬してひねくれたって何の解決にもならない
分かるまで読んで考える　
百遍とかいう回数　音読とかいう方法が大事わけじゃない
「考える」　これしかない　虚飾カラスは考えてない
それじゃコピペしても無駄　巨人の肩の上に立っても視力がないから何も見えない

>>339
>>たまたま３次式だったからそうなっただけで
>>４次式でも同じことは考えられる
>ちょっと違う
ちょっとも違わん
悔しいだろうが、脊髄反射で言い返したら君の負け　君が死ぬ
感情を殺せ　感情は自分を殺す

>まず、超楕円曲線で
>”次数が 2g + 1 のときは、曲線は虚超楕円曲線（英語版）(imaginary hyperelliptic curve)と呼ばれる。
>一方、次数 2g + 2 の曲線は実超楕円曲線（英語版）(real hyperelliptic curve)と呼ばれる。
>種数に関するこの呼び方は、g = 0 や 1 に対しても成り立つが、それらの曲線を「超楕円曲線」とは呼ばない。”
>とある
それ　g>=2なら有理曲線でも楕円曲線でもない、って言ってるだけなんだけど、いってる意味わかる？

代数曲線
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%B7%9A#%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E4%BE%8B

>また Elliptic curve en.wikipediaで
> ”If P has degree four and is square-free this equation again describes a plane curve of genus one;
>however, it has no natural choice of identity element.”
>とある

「P が 4 次で平方でない場合、この方程式は再び種数 1 の平面曲線を記述しますが、単位元の自然な選択はありません。」
だから、なんだといいたいんだい？　虚飾カラス君

「ボクのつけてる羽はボクの本当の羽じゃない」っていってるの？
うん、みんな知ってるよ（笑）

>さらに ja.wikipedia で
>「楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる」とも。
>三次式が標準らしい

君さ、何も考えてないよね？
それじゃ、数学は分かるわけないよ

だからいってるじゃん
考えるのが嫌なら、数学は無理だから
キレイさっぱり諦めて、囲碁将棋に全力をつぎ込みなって
囲碁将棋は文章を読む必要もないし、論理で証明する必要もない
高卒レベルの君でもできるよ　大学生の知能は全く必要ない

よかったな！

>>341
>なんか、全部・・・に書いてあった
知ってたよ

>読めてなかった・・・
それも知ってた

>引用しておく
要らないよ
君が勝手に読んで理解すればいい

君が理解もできないことをコピペしなくていい
うっとうしいだけだから

>>345
虚飾カラスの世田某は、中学高校時代は数学の天才だったのかもしれないが、所詮、中学高校数学レベル
だったら逆に中学高校レベルの計算技能を最大限に生かせる数学に特化すればいい（笑）

線形代数は実はそういう分野でもある　なんでもかんでも掃き出し法でできる、という理屈さえ鵜呑みにすればいい（笑）
掃き出し法でできないのは、固有方程式の根を求めるところだけ　まあ、こんなの数値解法でいいと開き直ればいい（笑）

その先にグレブナー基底を求めるブッフバーガーアルゴリズムがある
そりゃあまあ環論だのイデアルだのと言った理屈はあるが
まあ、そこもなんでもかんでもブッフバーガーアルゴリズムでできると
鵜呑みにしちゃえばいい　Ｄ加群の話も同様

何ができて何ができないのか　そこが分かれば使える
なんでできるのかは数学者になるなら大事だが
数学を使うだけなら「なるものはなる」と思っちゃえばいい（笑）

ガロア理論の理屈にこだわるのは、虚飾カラスが最も苦手とする「論理的思考」を求められることだから、やめとけ
ガロア群が巡回群のとき、ラグランジュ分解式を使ってべき根解を求める方法は、方法だから覚えりゃいいだけ
考えないサルでもわかる

自分は考えないサルだと自覚すれば、考えないサルでもできることに専念することで生きられる
大体の人は多かれ少なかれどこかの段階でそう気づき、自分にできることに専念して生きていく
それが賢さということ　

自分ができもしないことをやろうとし続けるのは愚か

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein%E2%80%93Sato_polynomial#Examples

If tij are n^2 variables, then the Bernstein–Sato polynomial of det(tij) is given by
(s+1)(s+2)⋯(s+n)
which follows from
Ω(det(tij)^s)=s(s+1)⋯(s+n−1)det(tij)^(s−1)
where Ω is Cayley's omega process, which in turn follows from the Capelli identity.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_%CE%A9_process
In mathematics, Cayley's Ω process, introduced by Arthur Cayley (1846),
is a relatively invariant differential operator on the general linear group,
that is used to construct invariants of a group action.

As a partial differential operator acting on functions of n2 variables xij,
the omega operator is given by the determinant

Ω=
|∂/∂x11⋯∂/∂x1n
⋮　⋱　⋮
∂/∂xn1⋯∂/∂xnn|.
For binary forms f in x1, y1 and g in x2, y2 the Ω operator is
∂^2fg∂x1∂y2−∂2fg∂x2∂y1.

https://en.wikipedia.org/wiki/Capelli%27s_identity
In mathematics, Capelli's identity, named after Alfredo Capelli (1887),
is an analogue of the formula det(AB) = det(A) det(B),
for certain matrices with noncommuting entries, related to the representation theory of the Lie algebra gl^n.
It can be used to relate an invariant ƒ to the invariant Ωƒ, where Ω is Cayley's Ω process.

>>352
小難し気なことをわざわざコピペしてみせたが
別にマウントとりたいわけではなく（笑）
実は高校で習う以下の式の一般化だといいたいだけ

(d/dx)x^s=sx^(s-1)

で、まあ、多項式の計算とライプニッツの規則がわかれば計算できる・・・筈（笑）

戻る
　>>272より
(引用開始)
もともとjまたは大文字のJ(=j/1728)は、4次方程式の4つの根から生じる不変式
（GL(2,C)不変）としてあらわれていたのであった。
（この群は整数性とは無関係であることに注意。）
このことは、"モジュラー判別式Δ"という名称にも残っていて、この「判別式」
というのは文字通り4次方程式の判別式から来ている（はず）。
つまり、jという量は元々、不変式論においてあらわれていたはずで、19世紀人にとっては
そのことは常識だったと思われる。
保型函数としてのPSL(2,Z)対称性は、これとはまったく別のものだから
当時も新しかったことは確かだろう。（実はガウスは未公表ながら持っていて
基本領域の図をいたずら書きのように残していた。）
(引用終り)

　>>341に示したように
全部 y^2=f(x) として、f(x)が3次式で全てをあつかっている
それで、尽くされているのでは？
4次式の出番なさそうだｗ　；ｐ）

　>>291
(引用開始)
ちなみに、最初の元ネタは高木貞治著『代数学講義』です。
ただし、4次方程式の根の不変式としてのλやJの計算は
重クソ書いてあるが、モジュラー函数はモの字も出てこない。
でもまぁ、何か見たことあるなと思うひとはいるでしょう。
(引用終り)

はっきり言って
それ、殆ど妄想じゃね？ （連想ゲームからさえはずれ）

　>>301より
(引用開始)
一方、これが不変式でもあるのは、楕円曲線y^2=f(x)において
f(x)の4根（3次の場合は∞を加える）をメビウス変換で移して
得られる楕円曲線が、元の楕円曲線に解析的に同型であるという
事実を反映している、ということになる。
(引用終り)

話は真逆だと思うよ
4次の場合を、3次に落とせるのでは？（上記）　（＾＾

柿本もカラスだなあ。柿喰う。

昔のダンジョンだよ。

>>354
セタさんは、なぜ y^2=f(x)（ただしf(x)は重根を持たない多項式とする）
において、f(x)が3次でも4次でも楕円曲線（すなわち種数1）
になるか分かりますか？

>>354
>全部 y^2=f(x) として、
>f(x)が3次式で全てをあつかっている
>それで、尽くされているのでは？
>4次式の出番なさそうだ

>はっきり言って
>それ、殆ど妄想じゃね？

>話は真逆だと思うよ
>4次の場合を、3次に落とせるのでは？

数学が大嫌いならはっきりそういえばいいのに
大学１年の微積と線形代数が全然分からなくて
ものの見事に落第したカラス君

セタさんへ出題
1.
f(z)を重根を持たない4次多項式とする。
zの函数として、√f(z)は分岐点をいくつ持つか？

2.
f(z)を重根を持たない3次多項式とする。
zの函数として、√f(z)は分岐点をいくつ持つか？

リーマン球面で考えてみてください。

>>357
>セタさんは、なぜ y^2=f(x)（ただしf(x)は重根を持たない多項式とする）において、
>f(x)が3次でも4次でも楕円曲線（すなわち種数1）になるか分かりますか？

カラスの世田某の手元だか足元だかにある本に書いてあるけど
彼にはどの本のどこにそれが書いてあるかが見つけられない・・・

ヒトはそれを「まるでわかってない」という

高木貞治の『代数学講義』の4次方程式の根から生じる
不変式の箇所は、明確に「モジュラー函数」を意識して書いていると思う。
が、一言も「モジュラー函数」には言及していない。
「分かるひとが分かればいい」という態度とも言える。
こういう点に昔のエリート、高踏的な明治人の雰囲気を感じる。

>>360
手許に本がなくても、要点さえ分かっていれば自分で解答を見出すことができる。
まぁ、どんな場合でもできるとは言えないが、ある程度頭に入っている分野
であれば、できるはず。できないというのは、頭に入ってないということになりますね。

>>361
＞昔のエリート、高踏的な明治人の雰囲気を感じる。

単に昔の人は的確な言葉を持ち合わせなかっただけで
それを高踏的エリートとかいうのは
自己愛にまみれた人格障害者の妄想かと

>>363
別に、「エリート」「高踏的」がよいことだとは言っておりません。

>>362
カラスの世田某は　ズバリ何が要点かわかってないよ

例えば「分岐点」はまさに要点なんだけど
彼はその「メンタルピクチャ―」がない

彼は威勢のいいこというけど
全部自分にブーメランで返ってくる始末
だから大口叩くなっていってるんだけどね

中身カラなのに他人に自慢したがる病気が治らないカラスの世田某

高木は藤澤にWeberを読むように勧められた。
WeberはStrasburgで藤澤を指導した
Christoffelの同僚だった。

>>364
そもそも病的自己愛がなければ
エリートとか高踏的とかいう
キモチワルイ言葉は使わないよ

佐藤幹夫の数学は
なんか発想の原点が素朴なのがいい

佐藤超関数の最先端の文献は？

最先端に拘るのは病んでる証拠

高木貞治はモジュラー函数のことは百も承知。
ある意味エキスパートとも言える。彼自身が解決した
「クロネッカーの青春の夢」においても
モジュラー函数の特殊値、昔の言葉でいうと「特異モヅル」
が用いられる。
そして、『代数学講義』においては、モジュラー函数に
繋がる不変式の計算を書きながら、モジュラー函数への
言及なし。これは「あえて書かなかった」と断定できる。

勿論、書いた方がよかったんじゃね？とは思う。
そうすれば、自分も最初から大きな関心を持って
該当箇所が読めたから。

>>371
ずばり尋ねるけど高木貞治が「代数学講義」で
モジュラー函数に触れなかった理由は何だと思う？

正直その本読んでないからどうでもいいんだけどさ（笑）

>>373
いや、『代数学講義』だから、代数学の範囲で収まってる部分だけを
書こうとしたのでは。話を拡げても収拾がつかなくなるし。
ただ、一言もなしというのは、やっぱり「高踏的」なんじゃないかな。

>>373
「近世数学史談」は？

学生時代の自分が喜びそうな話題を
集めただけではないだろうか

>>370
ということは、それにあたるものをあげるのが
難しいという意味だろうな

やはり関数論と代数幾何学（曲面論）はきってもきれない関係にあるんやろな、お互いがお互いに刺激を与えあいながら成長している感じやな。上野先生の代数幾何学の教科書とかでもその点を指摘されてるし、セールの数論教程でも代数パートと幾何パートにわけてどちらも数論研究に欠かせない技術として紹介してる。y^2 = f(x) の種数の計算はハーツホーンにもあるけど>>360みたいなリーマン面としての話としてみることも可能。どっちがいいとか悪いとかでもなく。でも穴あけてチョキチョキきってペタペタはるのはイメージしやすくていいな。ハーツホーンから入るとわけわからん。

>>374
＞『代数学講義』だから、代数学の範囲で収まってる部分だけを書こうとしたのでは。
教育的配慮ってことね
＞ただ、一言もなしというのは、・・・
教育的配慮じゃね（笑）

複素解析が必要になるところでは
ハーツホーンはフルウィッツ・クーランを見よと書いてある

>>354 追加
　>>272より
(引用開始)
このことは、"モジュラー判別式Δ"という名称にも残っていて、この「判別式」
というのは文字通り4次方程式の判別式から来ている（はず）。
つまり、jという量は元々、不変式論においてあらわれていたはずで、19世紀人にとっては
そのことは常識だったと思われる。
(引用終り)

1）書棚の”肥やし”の藤原松三郎 代数学　第2巻に、不変式論の記載があったなと
　ひっぱり出すと下記で”例題1 三次方程式の不変式論的解法
　例題2 四次方程式の不変式論的解法”とあって、びつくり　（＾＾
（ここは、読んだ記憶はないのだが・・；ｐ）
　余談だが、梅村 楕円関数論 楕円曲線のモジュライで Mumfordの名が出てくる
2）Mumfordは、geometric invariant theory (or GIT)（invariant theory＝不変式論）
　を1965年に発案したという
3）モジュラー曲線、Invariant theory （不変式論）、を下記に引用しておくので
　百回音読してねｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.rokakuho.co.jp/data/books/0162.html
内田老鶴圃
代数学　第2巻　改訂新編 藤原松三郎
第15章　不変式論
第1節　二次形式の不変式
15.5 半不変式 P351
例題1 三次方程式の不変式論的解法
例題2 四次方程式の不変式論的解法
（私の手元の本は、S49年第10刷。神田古書店 明倫館と記憶している）

梅村 楕円関数論 https://www.utp.or.jp/book/b498559.html
「第5章　楕円曲線のモジュライ」の最後 P264 「さらに知りたい読者は Mumfordの名著[Mm]の第1章を読むと良い」
とある

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_invariant_theory
In mathematics, geometric invariant theory (or GIT) is a method for constructing quotients by group actions in algebraic geometry, used to construct moduli spaces. It was developed by David Mumford in 1965, using ideas from the paper (Hilbert 1893) in classical invariant theory.

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A
モジュラー曲線とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。
例
モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の20面体群（英語版）(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A5 および PSL(2, 5) とに同型である。
これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線は数論幾何(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。
モンスター群との関係
→詳細は「モンストラス・ムーンシャイン」を参照
種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_theory
Invariant theory （不変式論）
Invariant theory is a branch of abstract algebra dealing with actions of groups on algebraic varieties, such as vector spaces, from the point of view of their effect on functions. Classically, the theory dealt with the question of explicit description of polynomial functions that do not change, or are invariant, under the transformations from a given linear group. For example, if we consider the action of the special linear group SLn on the space of n by n matrices by left multiplication, then the determinant is an invariant of this action because the determinant of A X equals the determinant of X, when A is in SLn.
The nineteenth-century origins
Cayley first established invariant theory in his "On the Theory of Linear Transformations (1845)." In the opening of his paper, Cayley credits an 1841 paper of George Boole, "investigations were suggested to me by a very elegant paper on the same subject... by Mr Boole." (Boole's paper was Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)[2]
The work of David Hilbert, proving that I(V) was finitely presented in many cases, almost put an end to classical invariant theory for several decades, though the classical epoch in the subject continued to the final publications of Alfred Young, more than 50 years later. Explicit calculations for particular purposes have been known in modern times (for example Shioda, with the binary octavics).

つづく

つづき

Like the Arabian phoenix rising out of its ashes, the theory of invariants, pronounced dead at the turn of the century, is once again at the forefront of mathematics.
(google訳)
アラビアの不死鳥が灰の中から蘇るように、世紀の変わり目に死んだと宣言された不変量の理論が、再び数学の最前線に立っています
Kung & Rota (1984, p.27)

Geometric invariant theory
The modern formulation of geometric invariant theory is due to David Mumford, and emphasizes the construction of a quotient by the group action that should capture invariant information through its coordinate ring. It is a subtle theory, in that success is obtained by excluding some 'bad' orbits and identifying others with 'good' orbits. In a separate development the symbolic method of invariant theory, an apparently heuristic combinatorial notation, has been rehabilitated.
One motivation was to construct moduli spaces in algebraic geometry as quotients of schemes parametrizing marked objects. In the 1970s and 1980s the theory developed interactions with symplectic geometry and equivariant topology, and was used to construct moduli spaces of objects in differential geometry, such as instantons and monopoles.
(引用終り)
以上

>>381
＞書棚の”肥やし”の・・・
＞ここは、読んだ記憶はないのだが・・

理解してないから覚えてないんだよ

＞・・・を・・・引用しておくので百回音読してね

百回音読しても理解してないなら無意味だからやめなよ
時間が無駄だし声に出すとうるさいから

虚飾カラスの世田某は、
整数論に全く興味もなければ理解もない
複素関数論だって初歩から分かってないから
楕円関数もわからん　モジュラー関数？無理無理

複素関数論とかいう前に
実数論がわかってない　
位相がわかってない
無限集合がわかってない
述語論理がわかってない

そんなもん話にならん

>>354 追加
　>>291
(引用開始)
ちなみに、最初の元ネタは高木貞治著『代数学講義』です。
ただし、4次方程式の根の不変式としてのλやJの計算は
重クソ書いてあるが、モジュラー函数はモの字も出てこない。
でもまぁ、何か見たことあるなと思うひとはいるでしょう。
(引用終り)

書棚の”肥やし”の高木『代数学講義』を引っ張り出してきた
私のは、Ｓ56年版で 多分神田の古書店で

目次は、下記で 「第7章　不可能の証明」のみを読むために買ったのだ
が、第6章 四次方程式を見ても 普通だとおもう（wikipediaの方が詳しいかも）
(https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F )

但し、>>381 藤原松三郎 代数学　第2巻 ”例題1 三次方程式の不変式論的解法
例題2 四次方程式の不変式論的解法”みたいなことから
影響を受けていてもおかしくはない

だが、楕円関数のj-invariant https://en.wikipedia.org/wiki/J-invariant （>>341）
と強引に結びつけるのは 如何なものか？ ；ｐ）

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10011290.html
共立
代数学講義 改訂新版
高木 貞治

第6章　三次および四次方程式
33. 三次方程式の解法,Cardanoの公式
34. 実三次方程式,三角函数による解法
35. 四次方程式（解法の一般論）
36. 四次方程式（三次分解方程式の計算）
37. 四次方程式（根の非調和比）
38. 二元二次方程式

第7章　不可能の証明
39. 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
40. 前節の続き,証明の根拠
41. 実根のみを有する三次方程式
42. 初等幾何学の不可能な作図問題

>>386
＞「不可能の証明」のみを読むために買った
●ってるね（バッサリ）

代数方程式がべき根で解けないと死ぬの？
複素数解を数値で求められれば工学的には十分だろ

>>363
何だかけなすだけの人がもう1人来たみたいかも

＞「不可能の証明」のみを読むために買った

こういう人は多いと思う。
たいへんわかりやすく書いてあるから。

>>389
正直言って、なんでべき根にこだわるのかが分からん（笑）

ガウスは円分方程式の解がべき根で表せることを示したが
別にそれが本来の目的ではなかっただろうと思っている

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749926306/590
>それは、ｐ=P と仮定することで生じる　矛盾を保留するために導入されたラベル付けの仕組みを取り除くと、その矛盾が即座に明らかになることを示しているだけなのです

まさに ストローマン（下記）
”ラベル付けの仕組みを取り除くと、その矛盾が即座に明らかになる”？
”ラベル付けの仕組みを取り除くと”は、ストローマンそのもの だ？

では、ラベル付けの仕組みを取り除かなければ、どうなるのか？
その場合において、矛盾が起きていることを示さないかぎり
厳密な数学の議論になっていない！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3
ストローマン（英: straw man）は、議論において、相手の考え・意見を歪めて引用し、その歪められた主張に対してさらに反論するという間違っている論法のこと、あるいはその歪められた架空の主張そのものを指す[1]。ストローマン手法、藁人形論法、案山子論法（かかし論法）ともいう。

>>390
正直言って
重要なのはアーベル群やガロア理論などではなく
べき根へのこだわりの方

>>389
(引用開始)
＞「不可能の証明」のみを読むために買った
こういう人は多いと思う。
たいへんわかりやすく書いてあるから。
(引用終り)

これは御大か
まさに、その通りです
下記の＜アーベル論文＞
4次より高い次数の代数方程式を一般には解くことが不可能であることの証明
が、いまいち分らなかった
高木先生の本が おすすめと聞いて買った。良かった

(参考)
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10011333.html
共立
現代数学の系譜　全14巻 11
アーベル ガロア 群と代数方程式
著者 N.H.ABEL 著・ E.GALOIS 著・ 守屋 美賀雄 訳・解説・ 正田 建次郎 監修・ 吉田 洋一 監修
＜アーベル論文＞
4次より高い次数の代数方程式を一般には解くことが不可能であることの証明
I　代数式の一般的な形について
II　与えられた1つの方程式を満足する代数式の性質
III　いくつかの量の代数式で，その量を互いに交換するとき生ずる値の個数について
IV　5次方程式の一般の解が不可能であることの証明

＜ガロア論文＞
累乗根で方程式が解けることの条件について
概論
素数次の既約方程式への応用

解説
アーベル論文の解説
ガロア論文の解説

一般的解説
1.　写像，置換群
2.　環の同型
3.　体Kに不定元t1,t2,…,tnを添加した環K[t1,t2,…,tn]の性質
4.　Kt1,t2,…,tn]に｛t1,t2,…,tn｝の置換をほどこすこと
5.　対称式
6.　体Kに不定元を添加した環の商体
7.　体の拡大
8.　ガロア拡大体

円分方程式の解がべき根で解けるとは？べき根は root of unity を認める場合の意味？すなわちexp(2πi/n) (n∈ℤ) を許すの意味？なら自明では？正の有理数のべき根全部くわえても最大アーベル拡大にはならないのでは？

特殊関数の特殊値

>>393
＞正直言って重要なのは
＞アーベル群やガロア理論などではなく
＞べき根へのこだわりの方
また耄碌爺が自分勝手な思想で
ド素人高卒をミスリードして
地獄に突き落としてるな

極悪人　●ね

思想と言えるかどうか

>>394
＞＜アーベル論文＞
＞4次より高い次数の代数方程式を一般には解くことが不可能であることの証明が、
＞いまいち分らなかった

誤　いまいち
正　全然

証明というものが分かってない人が、証明読んでもわかるわけない（笑）

１．５次以上の一般の代数方程式の解がべき根で表せると仮定する
２．仮定から方程式のガロア群を正規部分群で割ったときその商群が巡回群になり
そのステップを続けることにより、最後は単位群にすることができる
（商群が巡回群になることとべき根を一回使用することが対応する）
３．一方、５次以上の一般の代数方程式のガロア群はその次数の対称群であり
それらが持つ正規部分群は交代群しかない　そして交代群は正規部分群をもたない
したがって仮定と矛盾する

２がガロア理論とべき根拡大の理論
３はただの群論

で、ド素人は「解を求めること」しか頭にないのだから
クソ爺がいう「べき根で解けることの重要性」すらどうでもいい
「代数学の基本定理」で複素数解の存在は保障されてるのだから
後は複素解析の初等的ともいえる方法でゴリゴリ数値解を求めればいい
わけもわからず「べき根原理主義」に陥ると世田某のように発●する

>>396
＞円分方程式の解がべき根で解けるとは？
１の11乗根は５乗根を使って表せる
１の17乗根は平方根のみを使って表せる

＞べき根は root of unity を認める場合の意味？
１の11乗根は１の５乗根を使って表せる
１の５乗根は平方根と√ー１を使って表せる

＞すなわちexp(2πi/n) (n∈ℤ) を許すの意味？なら自明では？
君が考える自明な意味ではないのは、上記を読めば明らかであろう

＞正の有理数のべき根全部くわえても最大アーベル拡大にはならないのでは？
なんでべき根の中身が正の有理数に制限されるんだい？
べき根の中身に複素数が入ってはいけない理由って何？

素人君、自分勝手に臆測しても数学わからないから
数学書読んで１から勉強してな　それ以外方法ないから

思想より連想

>>401
お前に質問の意味わかるわけないやろ
だまっとけや

あ、せたじゃないのか。すまん。

＞１の11乗根は１の５乗根を使って表せる

これホント？

>>１の11乗根は５乗根を使って表せる
>>１の17乗根は平方根のみを使って表せる

これとポテンシャル論が絡むのがガウスの数学

いや、1の１１乗根がべき根であらわされるってのは ground field が root of unity 全部含む場合じゃないの？/ℚ だとむりでしょ？

5乗根を使って解が表せる特殊な5次方程式が存在する

だからそういうざっくりした書き方じゃなくて正確にかいてっていってるんだけど。おれはこの話では

定理
K が root of unity をすべて含むとする。L を
x^n ∈L → x∈L
をみたす最小の代数拡大とする。このとき K の代数拡大 M について
M ⊂ L ⇔ Gal( M/L ) が solvable

であって K が root of unity を全部含むって仮定がないともっと条件は厳しいはず。実際 Gal( cos(2π/11) ) は位数 5 の巡回群にはなるけどそれを5次の根の分解体としようとすると虚数の5乗根を添加しないといけなくなって、それを認めるなら最初から 1 の 11 乗根を添加しとけばいいとなって自明な主張におちいってしまうはず

あ、MはGalois拡大ね

初心者ですが
IUT使えば1+1=11を証明できる？

1の原始5乗根は、1の原始4乗根すなわちiとQのある数の4乗根であらわせる、iは√(-1)である
となって、結局すべてべき根に還元される。

円分論からは、もっと込み入った関係式も分かるのであって
一例として
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1734587123/60
を挙げておく。

セタさん何気に無視しているが、>>359の問題は考えてくれましたかね？
セタさんの好きなリーマン球面登場ですよ。

これは結構誤解されてる問題だと思う。問題になるのは

Gal(L/K) が solvable ⇒ L は K から初めてべき根を追加して得られる体

の向きの主張で「べき根を追加」のときに「虚数のべき根をゆるすか」で話が違うということ。Galois の元の主張は「虚数のべき根をゆるす」の立場でしたがって root of unity は全部ふくむことができる、だから最初から ground field が root of unity 全部入れてからスタートしてもよい。しかしそれだと「root of unityをℚに添加していくとき何がおこるか」ということは全く調べることができないわけでそれはそれで別問題になる。そしてたとえば
　cos(2π/5) = (-1+√5)/4
のような「root of unity を実のべき根で表す問題」とするならこれの答えの一つに

定理
cos(2π/n) が実のべき根(いわゆるⁿ√a (a>0、n∈ℕ)の形の実数)を順次添加して得られる体の元であるには [ℚ(cos(2π/n)):ℚ] が2べきであることが必要十分

のはず。なので少なくとも「円分多項式の根はつねにべき根であらわされる」なんて形の主張は成立しないはずだと思う。

もちろんこの「べき根であらわされる」が虚数のべき根をゆるして root of unity を許すんだったら主張は真だけど、それだと主張がもとからトートロジーになってしまう。

「ground field が root of unity 全部入れて」ガロアは確かにそのように
言っていたと思うが、ガウスの円周等分論の結果を引用した上でのこと。
より詳しく調べる場合は「root of unity 全部」というのは粗いのであって
「必要最小限」あればいい。その必要最小限というのが、巡回拡大が常に
クンマー拡大になるのに必要十分な1のべき根ということである。

そう、その

＞ガウスの円周等分論の結果を引用した上

の正確な主張をおたずねしてます。もしこれが「円分多項式の根はつねに(狭い意味の)べき根であらわされる」なら成立してないはず。ガウスの円周等分論の結果でそんな形の主張とはなんのことですか？

>>418
「べき根解法」という場合、「1回しか開いてはいけない」という法はない。
繰り返し開いてもいいわけ。Q(ζ_11)はQ上のクンマー拡大ではないが
Q(ζ_11)/Q(ζ_5)はクンマー拡大。Q(ζ_5)/Q(ζ_4)はクンマー拡大
Q(ζ_4)/Qはクンマー拡大、となって、結局クンマー拡大の列であらわせる。

>>407
＞1のｎ乗根がべき根であらわされるってのは ground field が root of unity 全部含む場合じゃないの？

もし、物事を論理的に考える人ならば、上記の文章を書いたときに、「？」と思う

「循環論法じゃん」

実際は１のｎ乗根は、ｎ＞ｍとなる１のｍ乗根を使って表せる

これだと、どんどん小さくできるので、−１（１の２乗根）とその平方根√ー１まで還元できる

そういう話な

いや、もちろん何回でもべき根を添加することを許しますよ。実のべき根に限る限り何回くわえてもcos(2π/11)は現れないはずです。クンマー拡大は1の虚数乗根添加しますよね？なのでクンマー拡大の時点で root of unity 追加することをゆるせば

「円分多項式の根はつねにべき根であらわされる」

はあったりまえの主張になってしまうと思います。

>>409
＞ K が root of unity を全部含むって仮定がないともっと条件は厳しいはず。

全部含む、とするのは話を簡単にするためであって、別に必要な分あればいい

ざっくりいえば、整礎性があればいい　

まあ、数学書では、この場面でそういう言い方しないけど　計算が目的ではないから

>>420
そうそう、それなんよ。大元のガロア理論は「どんな代数拡大もべき根を添加していけば得られるか」を否定する話なので「虚数のべき根を許したとしても不可能」なので虚数のべき根をゆるしてよい。でも「root of unity がべき根を添加していけば得られるか」という問題で 1 の虚数のべき根ゆるすならもとから問題が無意味になってしまう。そしてこれは虚数のべき根許さないなら答えは No のはず。

>>423
＞虚数のべき根許さないなら答えは No のはず。

いつだれがどこで「虚数のべき根許さない」っていったの？

今ここで君だけが勝手にその謎ルールを主張してるわけだが

その理由は？

クンマー拡大の列でQに到達できるということは、最終的には-1（1の原始2乗根）
に還元される。逆に言うと、Qから出発してべき根を繰り返し開いていくことで
すべての1のべき根は得られる。

>>415
＞定理
＞cos(2π/n) が実のべき根(いわゆるⁿ√a (a>0、n∈ℕ)の形の実数)を順次添加して得られる体の元であるには
＞[ℚ(cos(2π/n)):ℚ] が2べきであることが必要十分

この定理は全くその通り

で？>>391の「べき根で表せる」という記述だけで
「実のべき根」と勝手に妄想する根拠は何？

>>424
だからそれをゆるしてしまうともともと問題がトートロジーになるでしょ？
クンマー拡大という意味ならさいしょから 1 のべき根全部添加することゆるすんだから円分多項式の根が全部はいるのあたりまえでしょ？
そんな当たり前の話が「ガウスの円文体の理論から導出される理論」なわけないやん。だからその心は何と問うている。

1の原始11乗根の厳密解は他のスレで具体値明示されてるね。

78 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/10/15(水) 13:49:31.97 ID:Zh59Gt5R [1/3]
https://i.imgur.com/A5fxIeH.png

exp(2iπ/11)=cos(2π/11)+isin(2π/11)=

-1/10
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
+i/10√(55
-5(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
-5/4(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
-5(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
-5/4(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5))


https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1734587123/78

>>427
>クンマー拡大という意味ならさいしょから 1 のべき根全部添加することゆるすんだから

いやいや、これは明確な誤解であり誤り。クンマー拡大の定義を読んで下さい。

たしか Gal( L/K ) が巡回拡大であるとき L=K(a)、a^n∈K となる a を構成する段階で K が 1 の n 乗根を持ってることを利用するはず、なので Kummer 拡大うんぬんのときは 1 の n 乗根を持ってることを仮定（もってなければそれも添加）するはず。でもその話で「円分多項式の根はべき根の添加で構成できる」をトートロジー以上の意味をもたせられるとは思えない。なのでそんなのあるのと聞いている。
ちなみに wiki のクンマー拡大

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96

もちろん K 側で 1 のべき根全部もってること仮定している。

「クンマー拡大という意味ならさいしょから 1 のべき根全部添加することゆるす」
は明確な誤り。たとえばn次クンマー拡大なら、基礎体に1の原始n乗根が含まれていればいい。
「1のべき根全部含まれる」と「1の原始n乗根が含まれる」は全然違う。

まあ、ID:Z50uUADD をイジメたいわけではないので
彼に好意的な立場でも一言いうと

ｃを任意の複素数としたときに、n√ｃを求める、というのは
ナイーブな感覚ではもはや代数ではないね

平方根の場合は定規とコンパスで求められるけど、それも幾何的手法
で、立方根とかはそれでも求まらないから、実質、解析的手法よね

そういう意味では「（複素数の）べき根で解ける」っていわれても
あんまりありがたみないじゃん、というのはわかる

べき根にこだわるのはそういう意味で不毛
すでに三次方程式の時点で実質的に「代数的」でない（笑）

でも中身が複素数のべき根を許すなら
１のｎ乗根はｎより小さいｍのべき根で表せるよ

そうやって表された数が狭義代数的ｏｒ幾何的方法で求められるか
といえばそうはならないだろうけどね
正１７角形は作図できるけど、正７角形はできない
というのはそういうことだよな

で、それが重大な問題だ、とかいうのも
なんか時代錯誤だよね　いま２１世紀よ（笑）

いじめれてもた

>>427
＞だからそれをゆるしてしまうともともと問題がトートロジーになるでしょ？

とはいえない
つまり、解表示において生の「１のｎ（＞２）べき根」が現れないようにできる、ということ

１のｎべき根を「１のｍ（＜ｎ）べき根」で表すことをくりかえせば、
結局ー１（１の２乗根のうち１でないほう）まで潰せるから

とはいえ、一方で、中身が複素数のべき根は出てくるけどな　うん
もっと話が厄介になってるだろ、といわれるとその通りだが、
「簡単化の基準」の設定次第ではそういうことになる（笑）

まぁだからなんか意味ある主張になるなら聞いとこうと思ったんだけどこれ以上いじめられたくないのでもういいです

そもそも、ガウスとかアーベルとかガロアとかのやってること自体が、
実用性とは無関係な話なので、そこを「方程式を解く」という
ガチに実用的な目的だけで読むと、御望みのものが得られず死ぬ（笑）

どこかで
「ああ、自分が望んでることとは全然無関係なんだな」
と気づく必要があるが、そもそも中身が理解できないと
ずるずる引きずり込まれて戻れなくなる

アーメン（笑）

折紙の数学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%98%E7%B4%99%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6

折紙で一般の5次方程式解けるようだ。ただ実質、解は定規で測るから数値解だな。

>>436
＞なんか意味ある主張になるなら

その「意味ある」とは何を求めてる？

「定規とコンパスで作図できる」みたいな感じ？

まあ、「任意有限回で、あるε＞０以内の誤差に収められるか」というなら、それはできるよ
だから、全然なんもかんも無理ってわけじゃない

だって１／ｎを２進小数で展開すればいいだけじゃん（笑）

工学部的な即物的な動機によるなら、
ガロア理論は要らないし
ガウスの「整数論」も読まなくていい

だからガロア理論やガウスの「整数論」が分からなくても問題ない

よかったな！工学屋諸君！

デーン不変量

Dehn invariant
https://en.wikipedia.org/wiki/Dehn_invariant

これ面白い
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749926306/593
Mathematical reasoning and the computer
kevin Buzzard
Abstract。
Computers have already changed the way that humans do mathematics:
they enable us to compute efficiently.
But will they soon be helping us to reason? And will they one day start reasoning themselves?
We give an overview of recent developments in neural networks, computer theorem provers and large language models.
要約
コンピュータはすでに人間の数学のやり方を変えた：効率的な計算を可能にしたのだ。
しかし、近いうちに推論の助けとなるだろうか？そしていつの日か自ら推論を始めるだろうか？本稿では、ニューラルネットワーク、コンピュータ定理証明システム、大規模言語モデルにおける最近の進展を概観する
deepl翻訳
ー ー
https://arxiv.org/abs/2502.07850
(引用終り)

5. Summary
Machines have already changed mathematics, by helping us to compute more quickly; this happened decades ago. But now we seem to be at the dawn of a new era, where computers are able to engage with the concept of proof. Neural networks have helped human mathematicians to discover new theorems and new counterexamples. ITPs*) have helped humans to simplify the proofs of recent results in the literature, and in some areas of mathematics (for example additive combinatorics), formalizing a modern paper in a matter of months is now often possible. Large language models have currently had little effect on mathematics beyond school level, but if the current rate of improvement in the area continues, then they too will one day be playing a role in mathematical research. I will end with the following observation.
(google訳)
機械は、計算速度を向上させることで、すでに数学を変えてきました。これは数十年前のことです。しかし今、私たちはコンピュータが証明の概念に取り組むことができる新しい時代の幕開けを迎えているようです。ニューラルネットワークは、人間の数学者が新しい定理や反例を発見するのに役立ちました。ITPは、文献における最近の結果の証明を人間が簡素化するのに役立ち、数学の一部の分野（例えば加法的な組合せ論）では、最新の論文を数ヶ月で形式化することがしばしば可能になりました。大規模言語モデルは、現在のところ学校レベルを超えた数学にはほとんど影響を与えていませんが、この分野における現在の進歩の速度が続けば、それらもいつか数学研究で役割を果たすようになるでしょう。最後に、次の点を述べたいと思います。
（ *)注：ITPs (interactive theorem provers））

ガウスが弟子のゲーリンクに出した問題が発端

出された問題を完全スルーのセタさん

>>411
>初心者ですが
>IUT使えば1+1=11を証明できる？

ご苦労様です
通常の10進数学では ”1+1=11”は
不成立だが
2進数学では ”1+1=10”は、成立する

つまり、通常の数学でない宇宙（基本となる公理・定義を、通常の数学と異なるルールにした議論）
を考えると、通常の数学と異なる”1+1”の表現と解釈ができるってことだね

だが、IUTでも”1+1=11”にはならないかもよ　；ｐ）
（”11”の方を どう定義するかにもよるが）

>>443


「くだらねぇ問題はここへ書け」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/l50

「楕円曲線はなぜ３次曲線で表せるのか？」tsujimotterのノートブック
百回音読してね　（＾＾

(参考)　>>339より再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
超楕円曲線
y^2=f(x)
ここに、f(x) は n 個の異なった根を持つ次数 n > 4 の多項式である。
曲線の種数
多項式の次数は、曲線の種数を決定する。次数 2g + 1 と 2g + 2 の多項式で定義される超楕円曲線は、種数 g となる。3 次あるいは 4 次（g=1）の多項式で定義される曲線は、種数 1 の楕円曲線である（特別な一点を付加して）。
次数が 2g + 1 のときは、曲線は虚超楕円曲線（英語版）(imaginary hyperelliptic curve)と呼ばれる。一方、次数 2g + 2 の曲線は実超楕円曲線（英語版）(real hyperelliptic curve)と呼ばれる。種数に関するこの呼び方は、g = 0 や 1 に対しても成り立つが、それらの曲線を「超楕円曲線」とは呼ばない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
Elliptic curve
If y^2 = P(x), where P is any polynomial of degree three in x with no repeated roots, the solution set is a nonsingular plane curve of genus one, an elliptic curve.
If P has degree four and is square-free this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element. More generally, any algebraic curve of genus one, for example the intersection of two quadric surfaces embedded in three-dimensional projective space, is called an elliptic curve, provided that it is equipped with a marked point to act as the identity.

https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/curve-and-function-field-1
tsujimotterのノートブック
2019-07-01
曲線と関数体 (1)：楕円曲線はなぜ３次曲線で表せるのか？
略
まとめと次回予告
今回は楕円曲線の定義方程式を求める問題を扱いました。
次回は、楕円曲線の加法が「なぜあのような形で定義されるのか」について話したいと思います。そこでは、「因子」という概念が導入されますが、これは今回の関数体の議論の延長線上にあるものです。お楽しみに。
それでは今日はこの辺で。
参考文献
今回の記事は、以下の本の「超楕円曲線とヤコビ多様体」という章を参考にしました。
数論入門【現代数学への入門8】 (岩波オンデマンドブックス)
作者: 山本芳彦
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 2018/04/10

以下のPDFも勉強したいと思っていて、ブログのいくつかの記述はこちらを参考にしています。
小川裕之 : 代数曲線の Riemann-Roch の定理 - 第 15 回 整数論サマースクール 《種数の高い代数曲線と Abel 多様体》報告書
http://www2.meijo-u.ac.jp/~yonishi/research/pub/ss2007/02ogawa.pdf