スレタイ箱入り無数目を語る部屋30(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part4ｗ)

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1736907570/
前スレ スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)

(参考)時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

＞1904年、Gyula Kőnigは、（実数の）整列は存在し得ないことを証明したと主張した。

証明自体は誤りだろうが、選択公理が成立しないのであれば、実数が整列不能でも問題ない

>>794
>その上で、”「R上の任意の全順序は整列順序」”が 全然ダメだ
ほらね、サル大混乱ｗ
「R上の任意の全順序は整列順序」”が 全然ダメだからこそ、サルの主張「実数全体を好きな順序で整列できる」が全然ダメだと言ってるのに、まったくついてこれてないサル

>>794
>R上の任意の集合に、整列可能定理を適用するんだよ！！ そうすれば整列できるってことよ
整列順序が存在することと好きな順序で整列できることはまったく違うんだが、そんな初歩の初歩から分かってない。さすがオチコボレ。

>>794
>その上で、”「R上の任意の全順序は整列順序」”が 全然ダメだ
じゃあ好きな順序で整列できないじゃんｗ
サル、持論に自らダメ出しする馬鹿っぷり

>>795
>felix the cat

ご苦労さまです （＾＾

https://w.atwiki.jp/niconicomugen/pages/8992.html
ニコニコMUGENwiki
フィリックス・ザ・キャット
https://img.atwiki.jp/niconicomugen/attach/8992/20201/3092894-6735042798-Knml3.png
フィリックス・ザ・キャットとは、黒猫をモチーフにしたアメリカのキャラクターである。
名前の由来はラテン語で「幸運」を意味する「フェリシアス」と「猫」を意味する「フェーリス」。
日本においては駄菓子フィリックスガムの包み紙に描かれているあの猫、と言えば思い出せる方も多いだろう。
基本的にどの作品も、フィリックスが命じれば何にでも変化する（それこそ戦車や飛行機にも）「X」の文字が模様のように散らばった魔法のカバン、
「トリック・バッグ」を抱えて各地を冒険したり、彼のカバンを欲しがる大博士やブルといった悪役相手に大立ち回りをするのが基本ストーリー。

漫画家でアニメーターでもあったオットー・メスマー氏がデザインし、
1919年に、映画プロデューサーのパット・サリバン氏によってサイレントのアニメ映画として公開されたのが初出であった。
アニメ史において最古参の一角であり、当時としては斬新な「絵が動く」映像描写からたちまち話題になり、
ニューヨーク・ヤンキースの公式キャラクターになるなど人気を博した。

ガムは今でも安そうです、懐かしい。

>>796-800
ふっふ、ほっほ
ここは中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペンしておくよ

(引用開始)
>R上の任意の集合に、整列可能定理を適用するんだよ！！ そうすれば整列できるってことよ
整列順序が存在することと好きな順序で整列できることはまったく違うんだが、そんな初歩の初歩から分かってない。さすがオチコボレ。
(引用終り)

分ってないのはお主だよ
∃と∀とは、別ものだが
背反するものではない

例えば、いま人の集合Sがあって
a)Sの中に、日本人が存在する
b)Sの中は、全て日本人

命題AとBとは両立する
b)Sの中は、全て日本人 → a)Sの中に、日本人が存在する
は言えるが、逆は成立しない

と同様に
整列可能定理（整列順序の存在）と 好きな順序で整列できることとは
背反するものではない！

それから
自然言語の（人の）好きな順序＝数学の任意の(∀)順序とは違うものだよ

例えば
素数を整列させることを考えよう
素数は可算無限存在するが 人が知っている素数は有限でしかない
その人が知っている範囲の素数を好きな順序に並べて
残りの無限部分を 整列可能定理で全て整列させて 全体として 素数の整列を得る とする
これは、なんら 整列可能定理と矛盾しない
（なお、「素数を任意（∀）の順番に並べることは可能か？」という命題を考えると
　これは整列可能定理の範囲を超えているが、一方 整列可能定理の範囲を超えているゆえに不可能という結論も間違いだ
　整列可能定理をもって 「素数を任意の順番に並べることは不可能」を導くことはできない！）

さて、上記の素数の集合を 実数の集合 と置き換えてみよう
上記同様に
人は超越数を全て知っている訳ではない
ゆえに人が知っている範囲の実数を好きな順序に並べて
残りの無限部分を 整列可能定理で全て整列させて 全体として 実数の整列を得る
これは、なんら 整列可能定理と矛盾しない！■

>>803
>∃と∀とは、別ものだが
>背反するものではない
∃xP(x)を∀xP(x)に置き換えて良い何の根拠にもなってない。

>自然言語の（人の）好きな順序＝数学の任意の(∀)順序とは違うものだよ
違わない。

>その人が知っている範囲の素数を好きな順序に並べて
>残りの無限部分を 整列可能定理で全て整列させて 全体として 素数の整列を得る とする
じゃあ好きな順序で整列できないじゃんｗ
サル、持論に自らダメ出しする馬鹿っぷり。
そもそも素数全体の集合は可算だから整列順序の存在を示すのに整列可能定理なんて不要。
数学を初歩の初歩の初歩から分かってないサル。

>>803
>人が知っている素数は有限でしかない
素数全体の集合は可算だから自然数で附番できる。具体的な値を知ってるとか知らないとか算数じゃないんだから。そりゃ大学一年四月で落ちこぼれるわな。

おサルは数学の素養ゼロなのであきらめた方が良い

そもそも無限有限って分ける意味あるんでしょうか？
全部無限の一括りで済むのでは？
無限のなかの一部を切り取って有限って言ってるだけでは？
分ける意味を教えてください

>>807
{0}はNの部分集合だけど
{0}とNとを別物と見ないの？
>全部無限の一括りで済むのでは？

>>807-808
>そもそも無限有限って分ける意味あるんでしょうか？
>全部無限の一括りで済むのでは？
>無限のなかの一部を切り取って有限って言ってるだけでは？

スレ主です
1)無限集合の一部が、常に有限集合だとは限らない
　つまり、数学の全部を無限集合として考えても、そこから部分集合を取った時 有限か否かは別の尺度が必要だよね
2)時代を戻すと 下記 19世紀後半「R.Dedekindの数学の基礎付けと集合論の公理化」渕野昌が参考になるだろう
　下記によれば、Dedekindは”無限集合の存在”を、定理として証明しようとしたという
　しかし、その後 いろいろあって ”無限集合の存在”は、公理として位置付けるべきとなった
3)付言すれば、下記「デデキント無限」という概念がある
　無限集合とは、自分自身と同数（同濃度）の真部分集合を持つ集合と考えるべし
　でも 結局は、”無限集合の存在”は、公理とするのが良いのだとなって、無限公理を考えた

いまのZFC公理系の外で、いろんな議論があって、いまのZFC無限集合論がある
ZFC公理外の 無限と 有限の議論は、21世紀でも 意味があると思うが、いままでの議論も理解してね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限集合であるとは、A と同数(equinumerous)であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B との間に全単射が存在するということである
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である
選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない
通常の無限集合の定義との比較
略
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
数理研 講究録2011
R.Dedekindの数学の基礎付けと集合論の公理化 渕野昌 神戸大
1.「数の理論を扱かう論理学」の基礎付け
上記の2つの著書は，彼の同時代の数学者の多くが，ただちに受け入れることを躊躇したとしてもおかしくないような，当時の時代を越えた，新しい視点からの考察に満ちていた，と言うことができる．しかし，逆に，現代の視点から見ると，これらの仕事の内容のうちには，彼の手の内にあった数学的な道具だけを使っても当然もっと先が見えてもよさそうに思えるにもかかわらず，もう一つ前に進めずにいる，という，もどかしい印象を受ける箇所も少なくない．とは言っても，これは，あくまで現代の視点から振り反って見たときの「傍目八目」のようなものに過ぎない．また，その指摘によって，Dedekindの業績の偉大さにけちをつけるつもりがあるわけではなく，彼がもう一歩進めずにいた点を明確にすることによって，Dedekindの数学の基礎付けに関した仕事の数学史の中での位置や，その科学哲学的視点からの可能な解釈に，より明確な光をあてることができるはずである，と考えるからである

>>807
有限個の元を好きな順序で並べられることを示したところで「実数全体を好きな順序で整列できる」に対する何の論証にもなってない
という意味ならその通り
サルは馬鹿ですから

>>804
(引用開始)
>その人が知っている範囲の素数を好きな順序に並べて
>残りの無限部分を 整列可能定理で全て整列させて 全体として 素数の整列を得る とする
じゃあ好きな順序で整列できないじゃんｗ
そもそも素数全体の集合は可算だから整列順序の存在を示すのに整列可能定理なんて不要。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
ここは中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペンしておくよ

１）まず、君に贈る By Terence Tao “big picture”勉強法（下記）
　そもそも、”公理って何？”が分かっていないでしょ？ あなた （＾＾
２）例えば ユークリッド幾何の公理があって そこに自分の意志を入れるべし
　直線を引いて 円を描く・・・
　まあ、公理とはレゴの部品ブロック同様で どういう構造物を作るかは それを使う人の意志だ
３）さて、整列可能定理(Well-ordering theorem)>>784 https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
　これは選択公理に同値だが、いま 下記の従属選択公理の記述
”従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる”
”この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、
　全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける”
　ということ。つまり、選択公理とは その生成する列の長さで測ることができる
　ω丁度が可算選択公理で、全ての順序数で可能なのが フルパワー選択公理で
　従属選択公理は、その中間だね
４）さて、ZFCで 空集合Φから初めて 無限公理を使って 最初の無限集合の自然数Nを作って
　そこから有理数Qを作る。さて 実数Rは？ 言わずと知れたコーシー列
　コーシー列とは 無理数に収束する可算無限の有理数列で ここで 整列可能定理のご登場
　整列可能定理があるから コーシー列が作れる 人の意志
　ここに 人の意志が入らない？ いや 入るでしょ！ 実数R全体を有理コーシー列で作るのだから！■

つづく

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる[1]。
略
この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、
全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776769125/8
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice (このサイトに、いろんなアドバイスがあり、参考になる。下記は、その一つです)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
3. 「ポスト厳密」段階。以下略す
(引用終り)
以上

>>811
>選択公理とは その生成する列の長さで測ることができる
>ω丁度が可算選択公理
はい、大間違いです。
任意の可算集合が整列集合であることは定義から自明なのでいかなる選択公理も不要。
実際、自然数全体の集合Nから可算集合Xへの全単射 f:N→X が存在するから、X上の順序<を f(0)<f(1)<・・・ で定義すればよい。
サルってほんと馬鹿だね。

>>811
>ZFCで 空集合Φから初めて 無限公理を使って 最初の無限集合の自然数Nを作って
はい、大間違いです。
無限公理が存在を主張する集合を帰納的集合と言う。
あらゆる帰納的集合の共通部分はペアノの公理を満たす。
サル、初歩の初歩から分かってない。

>>811
>コーシー列とは 無理数に収束する可算無限の有理数列で ここで 整列可能定理のご登場
>整列可能定理があるから コーシー列が作れる 人の意志
>ここに 人の意志が入らない？ いや 入るでしょ！ 実数R全体を有理コーシー列で作るのだから！■
これは酷い
コーシー列の定義も実数の構成法もまったく分かってない
なんで公開掲示板で公然と馬鹿自慢したがるんだろう　精神逝ってる？

コーシー富田

ちょっと考えればおサルの持論がいかに荒唐無稽か分かるのに、おサルはその「ちょっと考える」ことができない
畜生だから仕方無い

ですね
ところで彼の人の言う人の意思って何かな？

ここは、中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく

>>813
>任意の可算集合が整列集合であることは定義から自明なのでいかなる選択公理も不要

完全に滑っている
１）原始的な可算集合Ｎ自身には、順序は入っていない
　順序を定義することで、はじめて順序集合になる（集合論の常識）
２）列と集合を混同する素人（集合論の常識）

>>814
>無限公理が存在を主張する集合を帰納的集合と言う

何を言わんとしているのか イミフ
帰納的集合というだけでは、
つまり ペアノの公理だけでは 無限集合の存在が言えない
（他のZF公理だけでは 証明できない）

>>815
>コーシー列の定義も実数の構成法もまったく分かってない

それおまえ
整列可能定理なしでも
ZF公理（含む無限集合公理）から、自然数の集合Nは出来る
そこから、負数を定義して 整数Zができる
そこから、加算と乗算と割り算を定義することで有理数Qができる
しかし、有理数Qを完備化するために 有理数Qを使う可算無限収束列が必要！
この可算無限列を作るところで、整列可能定理（即ち選択公理）が必要です
下記の「従属選択公理」を百回音読してね（＾＾

(参考)>>812より再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]
形式的な言明
まず、R on X 上の二項関係 R が全域関係であるとは、任意の a∈X,
に対してある b∈X が存在して
aRb が成り立つことである。
従属選択公理とは、次の言明である[1]:
従属選択公理 ― 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係 R
に対して、列 (xn)n∈N
を全ての n∈N に対して
xnRxn+1
であるように取れる。
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)
使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである

>>818
>ところで彼の人の言う人の意思って何かな？

ユークリッド幾何学の公理もそうだし
いまの集合論の公理とかもそうだが
公理が作られるまえに、ある程度の数学の成果がある
公理以前にね

その中で
古代ギリシャ ユークリッドの時代に
それまでの平面幾何を 公理として整理した
公理だけでは、幾何学にはならない
公理→定理 を作る それが人の意思

同じことが ZFC公理系にもいえる
ZFC公理の前に カントールやデテキントの集合論があって
しかし、19世紀末に素朴集合論に ラッセルパラドックスなどが出てきて
それへの対処として ZFC公理系ができた
そして、ZFC公理系から カントールやデテキントの集合論は再構成され
その上に、従来の微分積分や関数論が再現できて
さらに 20世紀数学の発展があり
いま21世紀2016年に至る

人がいないとダメだよ
公理はあくまで土俵だよ
土俵の上で 相撲を取る人がいるよ

>>820 タイポ訂正

いま21世紀2016年に至る
　↓
いま21世紀2026年に至る

>>819
>完全に滑っている
君がね

>１）原始的な可算集合Ｎ自身には、順序は入っていない
>順序を定義することで、はじめて順序集合になる（集合論の常識）
集合論における標準的なNの構成で(N,⊂)は整列集合。集合論の常識を知らないど素人。

>２）列と集合を混同する素人（集合論の常識）
集合論において列は写像であり、写像は集合である。集合論の常識を知らないど素人。

>>無限公理が存在を主張する集合を帰納的集合と言う
>何を言わんとしているのか イミフ
それは君が馬鹿だから

>帰納的集合というだけでは、
>つまり ペアノの公理だけでは 無限集合の存在が言えない
>（他のZF公理だけでは 証明できない）
無限公理は無限集合の存在を主張している。実際、無限公理の後者関数 x→x∪{x} は単射だから帰納的集合が有限集合と仮定すると矛盾する。

>>コーシー列の定義も実数の構成法もまったく分かってない
>それおまえ
脊椎反射しかできないサル

>整列可能定理なしでも
>ZF公理（含む無限集合公理）から、自然数の集合Nは出来る
>そこから、負数を定義して 整数Zができる
ふむ

>そこから、加算と乗算と割り算を定義することで有理数Qができる
集合論における自然数全体の集合Nの標準的構成においてN上の加法・乗法が定義されている。すなわちNは半環構造を持つ。
整数Zも同様に環構造を持つ。
有理数体Qの構成には環Zに対して環論の局所化・全商環・商体と呼ばれる概念が用いられる。
集合論・環論の常識を知らないど素人。

>しかし、有理数Qを完備化するために 有理数Qを使う可算無限収束列が必要！
>この可算無限列を作るところで、整列可能定理（即ち選択公理）が必要です
>下記の「従属選択公理」を百回音読してね（＾＾
そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い。
ど素人が荒唐無稽なデタラメを垂れ流すもんじゃない。

>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い。
おサルは同値類も作るものと誤解しているが、集合X上の同値関係〜を定義した瞬間に同値類全体の集合 X/〜 は存在している。
おサルは数学を初歩の初歩の初歩から分かってない。説明の文章を勝手読みしてふーんと分かった気になるからこうなる。

>>822
ふっふ、ほっほ
ここは、中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく

>集合論における標準的なNの構成で(N,⊂)は整列集合。集合論の常識を知らないど素人。

それは、天才ノイマンの構成の場合だよね（下記 Definition as von Neumann ordinals ）
ペアノ公理では (N,⊂)は言えない
そもそも、(N,⊂)のように 集合Nと順序定義⊂のペアでもって
順序集合は定義すべし！
https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers
Set-theoretic definition of natural numbers
Definition as von Neumann ordinals

>集合論において列は写像であり、写像は集合である。集合論の常識を知らないど素人。

公理的集合論において、列や写像など全てが 集合として扱われる（常識）
有名なのが 下記の順序対 (a, b)のKuratowski's definitionで、これを利用してn個の順序対を集合として表現できる(が 普段は (a, b)と略される。関数表記なども同様)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair
Kuratowski's definition
In 1921 Kazimierz Kuratowski offered the now-accepted definition[9][10] of the ordered pair (a, b):
(a, b)K:={{a}, {a, b}}.

>整数Zも同様に環構造を持つ
>有理数体Qの構成には環Zに対して環論の局所化・全商環・商体と呼ばれる概念が用いられる

いや、だからぁ〜ｗ（＾＾
そういう数学の構造（構築物）から逆算して ZFCの公理系を 極力シンプルにして 贅肉をそぎ落した公理系としているのだ
その意味は、極力シンプルにすることで、ラッセルパラドックスを避けるべし！ってことですよ

>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い

笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾
（デデキント切断や カントルのコーシー列による 実数論が展開できるようなZFC公理になっている。天才ノイマンがそうしたってこと！）

https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/
東北大 尾畑研
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_16.pdf
第16章整数・有理数・実数
前章では順序数を用いて自然数を定義しペアノの公理によって自然数を特徴づけたさらに自然数に加法・乗法・順序を導入して代数系としての基本的な性質を証明した本章では代数系の観点から自然数を拡大して整数と有理数を導入しデデキントの切断を用いて実数を構成する
P249
■実数論
ここではデデキントの切断による方法を述べる
ほかにも同値な理論が何通りか知られておりカントルやワイエルシュトラスによる実数論も有名である

>>824
>ペアノ公理では (N,⊂)は言えない
そもそも"(N,⊂)"は命題でないから言えるとか言えないとかという物言いからしておかしい。ど素人の妄言。

>>有理数体Qの構成には環Zに対して環論の局所化・全商環・商体と呼ばれる概念が用いられる
>いや、だからぁ〜ｗ（＾＾
>そういう数学の構造（構築物）から逆算して ZFCの公理系を 極力シンプルにして 贅肉をそぎ落した公理系としているのだ
有理数体Qの構成法について言ってるのに話にぜんぜんついてこれずトンチンカンな返ししかできないサル。

>その意味は、極力シンプルにすることで、ラッセルパラドックスを避けるべし！ってことですよ
はい、大間違いです。
ラッセルのパラドックスがおきる原因は複雑化ではない。無制限な内包公理がラッセルのパラドックスを導く。パラドックスを避けるため置換公理へ置き換えた上で、和集合の公理、対の公理、べき集合の公理、無限公理、空集合の公理の追加が必要となった。つまり複雑化した。つまりシンプル化の真逆。

>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
どこにも「有理数全体の集合Qが存在するなら有理数列全体の集合 Q^N が存在する」が間違いと書かれてない。君、字が読めないの？

>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾
「実数の構成に選択公理が必要」という君の独自説がそんなに面白いかい？

おサルは数学を初歩の初歩から分かってないから数学板で語らない方が良い
そんなに馬鹿にされたい？　君、ドM？

ですね

ですよ。
あーい、とぅいまてーん。

>>825
>ラッセルのパラドックスがおきる原因は複雑化ではない。

うん 良い指摘だ
よって 若干の訂正

その意味は、極力シンプルにすることで、ラッセルパラドックスを避けるべし！ってことですよ
　↓
その意味は、極力シンプルにすることで、ラッセルパラドックス等を避けるべし！ってことですよ

”ラッセルパラドックス”→”ラッセルパラドックス等”にしておくよ（ラッセルパラドックス以外も含める）
公理は、すべからく 簡潔を旨とスベし！！ （＾＾

>「実数の構成に選択公理が必要」という君の独自説がそんなに面白いかい？

必要だ。簡単に カントールの実数の構成 有理コーシー列を使う場合に限定するよ
有理コーシー列は、加算無限有理数列だ。要するに、有理数Qから有理数を取り出して
q0,q1,q2,・・,qi,・・ なる無理数rに収束する列を作る（細かくは rに収束する列は一つに限らないから 同値類を考える）
q0,q1,q2,・・,qi,・・は、集合の元を整列させているってこと
つまりは、整列可能定理が使える
列長さが ω（＝最初の無限順序数）のときは、可算選択公理で足りる
が、なんらの選択公理の不使用 つまり 可算選択公理さえ使わないならば
加算無限有理数列は、構成できない！
（∵このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである(下記)）■

(参考)>>812
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる[1]。
略
この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、
全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]

使用例（>>819より再録）
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである

>>829
うわ、これは酷い
おサルさんさあ、その妄想が正しいか君が媚びへつらう御大とやらに聞いてみれば？

>>830
なるほど・・・
君の論にも一理ある
が >>829にも一理あるぞ

つまり 下記 google検索で
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

まあ、おサルさんと痛み分けか・・（＾＾

(google検索)
Construction of real numbers using rational Cauchy sequences and Axiom of countable choice in ZF axiomatic set theory
AI概要
Constructing real numbers as equivalence classes of rational Cauchy sequences formalizes the idea that any real number is the limit of approximations. In ZF, the Axiom of Countable Choice (ACω) is required to prove that these equivalence classes form a mathematically complete field.
1. The Setup: Rational Cauchy Sequences
We begin within ZF (Zermelo-Fraenkel set theory without Choice). We assume the rational numbers, Q, have already been constructed.
・A Cauchy sequence of rationals is defined as a function f: N → Q such that for every rational ε > 0, there exists an integer N such that for all m, n > N:
｜f(m) - f(n)｜ < ε
・Let C be the collection of all such Cauchy sequences. This forms a set via the Axiom of Replacement and the Power Set Axiom.

2. The Equivalence Relation
Intuitively, two sequences represent the same real number if and only if the distance between their terms tends to 0 as n → ∞.
・We define a relation 〜 on C by f 〜 g if and only if lim_n → ∞ ｜f(n) - g(n)｜ = 0).
・This relation 〜 is an equivalence relation.
・The set of real numbers R is defined as the set of equivalence classes:R = C / 〜

3. Arithmetic Operations
The algebraic field operations (addition and multiplication) are defined pointwise on the sequences:
・(𝑓+𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)+𝑔(𝑛)
・(𝑓⋅𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)⋅𝑔(𝑛)
We must verify that these operations are well-defined (i.e., if f_1 〜 f_2 and g_1 〜 g_2, then f_1 + g_1 〜 f_2 + g_2). This is entirely proven within standard ZF and requires no choice axioms.

つづく

つづき

4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.

5. Alternative Without Choice: Dedekind Cuts
If we strictly want to avoid the Axiom of Countable Choice altogether in ZF, mathematicians typically use the Dedekind cut construction instead of Cauchy sequences. Dedekind reals construct the continuum directly by partitioning Q into two non-empty sets (a lower set and an upper set), bypassing the need to patch together sequences and invoke choice functions.

If you are interested, I can help you by:
・Comparing the Cauchy vs. Dedekind constructions in ZF
・Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
・Explaining how these real number models differ without choice
Let me know how you'd like to proceed!

追加検索
Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
結果
The relationship between the Axiom of Countable Choice (AC_ω) and the Axiom of Dependent Choice (DC) is hierarchical. Both are weak forms of the full Axiom of Choice (AC) used to restore standard analysis in ZF, but DC is strictly stronger than AC_ω.
略
4. Impact on Real Numbers and Analysis
While AC_ω is enough to construct the real numbers via Cauchy sequences and prove that R is Cauchy complete, it is not enough for other fundamental properties of calculus.
・What AC_ω can do: It proves that every countable union of countable sets is countable, and that the regular Cauchy completion of Q equals the Dedekind completion.

つづく

（関連ページ）
https://www.reddit.com/r/math/comments/1kcnu7l/are_cauchy_sequences_the_most_useful_ways_to/
質問 r/math
1年前
PhantomSasuke
Are Cauchy sequences the most useful ways to define Real numbers?
Proof assistants like lean define real numbers as equivalence classes of Cauchy sequences which allows it to formalise the various results in analysis and so on.
I was curious if alternate definitions (such as Dedekind cuts) of the real numbers could be used to streamline/reduce the complexity of formal proofs.
（回答(抜粋)）
Melchoir
1 年前
In the context of Lean, Kevin Buzzard started a thread asking a related question in 2019 here, then wrote some thoughts on the topic in 2020 here.
The current documentation for the standard library addresses the choice in Mathlib.Data.Real.Basic:
This choice is motivated by how easy it is to prove that ℝ is a commutative ring, by simply lifting everything to ℚ.
There is some further discussion of different constructions in Mathlib.Topology.UniformSpace.CompareReals, hinting that Dedekind hasn't been done:

Thesaurius
1 年前
I personally really like the construction using Cauchy sequences, because to me it is the most clear one. But the Cauchy Reals have less constructive power than Dedekind Reals, in the sense that without assuming further axioms, the second implies the first, but not the other way round. There are a dozen or so ways to construct the Reals, and they form a hierarchy of strength, Dedekind Reals being on the top (together with a few other constructions).
The comparisons are done in a paper where there is also a strict definition of strength, but I unfortunately can't find it anymore. Also: In the classical setting of ZFC, all the constructions are equivalent, so as long as you only do classical math, it doesn't really matter which one you use.
(引用終り)
以上

>>832 コピー抜け追加

・Where AC_ω fails (and DC is needed): AC_ω is too weak to prove the Baire Category Theorem for complete metric spaces. It is also insufficient to prove that every sequentially continuous function f: R → R is continuous in the ε-δ sense. DC is the exact strength required to make sequential arguments work across metric spaces.

>>830
彼の人は無限集合から何か作り出すのに選択公理が必要だと思い込んでいる？
あるいは選択公理とは何かを理解していない？

>>831
>が >>829にも一理あるぞ
無い

>・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
ソースは？

髪切った？
海外行った？

彼の人の言う意志は数学をやることを指すみたいだけど
数学内で元（この場合コーシー列）を指定することをもそう捉えてるんだな
数学における実在とは何かみたいな不毛な哲学論争に陥りやすいかも

あー
ここで言っていた元はコーシー列じゃ無くて実数の整列順序かな？

ゲーデルの不完全性定理は閉じた系の行きつく限界領域

>>833 URLリンク追加

In the context of Lean, Kevin Buzzard started a thread asking a related question in 2019 here, then wrote some thoughts on the topic in 2020 here.
https://xenaproject.wordpress.com/2020/07/03/equality-specifications-and-implementations/

The current documentation for the standard library addresses the choice in Mathlib.Data.Real.Basic:
https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Data/Real/Basic.html
This choice is motivated by how easy it is to prove that ℝ is a commutative ring, by simply lifting everything to ℚ.

There is some further discussion of different constructions in Mathlib.Topology.UniformSpace.CompareReals,
https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Topology/UniformSpace/CompareReals.html
hinting that Dedekind hasn't been done:
Comparing with Dedekind cuts or quasi-morphisms would be of a completely different nature.

自己言及可能なシステムの定め

>>・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
>ソースは？

おサル、ソース出せず
そりゃそうやろ　独善妄想にソースなんて無いからな

>>843
(引用開始)
>>・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
>ソースは？
おサル、ソース出せず
(引用終り)

ご苦労様
ソースはイカリ
　>>831 より
(google検索)
Construction of real numbers using rational Cauchy sequences and Axiom of countable choice in ZF axiomatic set theory
と、検索キーワードを与えているから
自分で検索しなよ
実は、参考文献のリンクもあったんだが
それのコピーが面倒なので 省いた

おかめソース

>>838
>彼の人の言う意志は数学をやることを指すみたいだけど
>数学内で元（この場合コーシー列）を指定することをもそう捉えてるんだな
>数学における実在とは何かみたいな不毛な哲学論争に陥りやすいかも

私の意見を書いておくと

１）そもそも数学における公理とは？
　ユークリッド幾何学がモデルだろうが
　最低少数の原理原則を公理と認めて、全ての数学の定理（命題）はそこから証明できる数学体系のこと
２）いま問題の集合論公理（例ZFC）は、カントールが始めた素朴無限集合論が
　無限を扱うことによるパラドックスが顕在化してので、ヒルベルトなどが公理化を目指したもの
　その結果うまれたのが ZFCに代表される公理的集合論
３）つまりは、公理系はスポーツで言えば ルールみたいなもので、どんなゲームをするかは人の意志
　料理でいえば、素材のようなもので、どんな料理を作るかは人の意志
４）これを、選択公理についてみれば
　選択公理と等価な整列可能定理で説明すると 下記”長い超限列の生成を認めるもの”
　（列の長さで 各選択公理の強さが測れる）
　選択公理を使って、どんな超限列を考えて どんなゲームをするか どんな料理を作るかは人の意志
　選択公理を置いただけでは、何の数学も生まれない■

(参考)>>829より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる[1]。
略
この記法を採用すると、可算選択公理は実はDC(ω)と同値であり、実際に一般化になっていることがわかり、
全ての順序数について上の命題が成立すると仮定すると選択公理が導ける[1]

使用例（>>819より再録）
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の
n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである

>>844
言い訳しかできないサル

>それのコピーが面倒なので 省いた
いつもコピペしまくってるのに何故か肝心なときだけコピーが面倒になるサル

言い訳はいいからはよソース出せやサル

>私の意見を書いておくと
オチコボレの見解は不要

ひょっとこソース

サルサソース

ブルドックソース
"2005年（平成17年）には、イカリソースのブランドを取得"（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%B9
ブルドックソース
ブルドックソース株式会社（英: BULL-DOG SAUCE CO.,LTD.[3]）は、東京都中央区に本社を置く調味料メーカーである。
社名の英語表記はBull-Dogであるが、日本語表記はブルドッグではなくブルドックが正しい。これは創業者が命名時に濁音が続く語感を避けるため、あえて使い分けたという[4]。
概要
2005年（平成17年）には、イカリソースのブランドを取得し関西地方の市場を強化した。また2019年にはミツワソースで知られる広島地盤のサンフーズを企業買収し、グループで西日本での販売エリアを強化している。
「ブルドックソース」の「ブルドック」は、1900年頃の日本で外来犬のブルドッグがペットとして流行しており、洋食も外来ゆえ「ブルドッグのように可愛がってもらいたい」との意味から採用された。現在も会社のシンボルマークにブルドッグ犬のイラストが使われている。

ソース出せないサル、お茶を濁してごまかす

ですね

>>850
タシカニ

ソースのソース

お〜い スター ソース なんちゃって てへぺろ （＾＾

>>846 補足
＜私の意見を追加＞（＾＾
数学では、しばしば 根源の部分では、存在とその性質とを分ける
例えば 単位的環の 単位元で、両側単位元なら ”存在すれば一意”である
逆に言えば、”一意である”と示されない限りは、複数あることを想定している
ZFC公理系においても 下記のように『ほとんどの公理は、他の集合から定義された特定の集合の存在を定める』という
一意とは限らない
選択公理については、Kunenは選択公理に相当するものとして 通常整列可能定理と呼ばれるものを採用している
整列可能定理の”X を整列する二項関係 R”は 一意とは謳っていない！■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0
単位的環
単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) とは[注釈 1]、乗法単位元を持つ環のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83
単位元（たんいげん、英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん、英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。
性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。しかしマグマ (M, ∗) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。このことは、実際 e1 が左単位元 e2 が右単位元であるならば、
e1=e1∗e2=e2
が成立することからわかる。とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
ツェルメロ＝フレンケル集合論（英: Zermelo-Fraenkel set theory）とは、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化するために20世紀初頭に提案された公理系である。名前は数学者のツェルメロとフレンケルにちなむ。歴史的に議論を呼んだ選択公理（AC）を含むツェルメロ＝フレンケル集合論は公理的集合論の標準形式であり、今日では最も一般的な数学の基礎となっている。選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される。Cは選択（Choice）公理を[1]、ZFは選択公理を除くツェルメロ（Zermelo）＝フレンケル（Fraenkel）集合論の公理を表す。

概要
ツェルメロ＝フレンケル集合論は、単一の原始概念の形式化、すなわち整礎な純粋集合（英語版）の概念の形式化を目的としているため、議論領域内のすべての対象（entity）はそのような集合となる。したがって、ツェルメロ＝フレンケル集合論における公理は純粋集合のみに言及し、そのモデルに原始元（アトム）が含まれないようにしている。さらに、真のクラス[注釈 1]は間接的にしか扱えない。

つづく

Hunger is the best source.

つづき

具体的には、ツェルメロ＝フレンケル集合論では、全体集合（すべての集合を含む集合）の存在も無制限の内包も許容しないため、ラッセルのパラドックスを回避できる。フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG）は、ツェルメロ＝フレンケル集合論の保存拡大としてよく用いられており、真のクラスを明示的に扱うことができる

ツェルメロ＝フレンケル集合論の公理には多くの同値な定式化が存在する。ほとんどの公理は、他の集合から定義された特定の集合の存在を定める。
たとえば対の公理は、任意の二つの集合
a と b が既存のときに、（文脈によっては不正確な説明ではあるが）
a と b のみからなる新しい集合
{a,b} の存在を定める。他には、集合の元の属性を説明する公理もある。公理の目標は、フォン・ノイマン宇宙（累積階層とも呼ばれる）におけるすべての集合の集まりに関する命題とみなしたときに、各公理が真であることである。厳密には、ZFCは一階述語論理における1ソート理論である。シグネチャとして、等号
= と、単一の原始的な二項関係である元の帰属関係 ∈ のみがある。
式 a∈b は集合
a が集合 b の元である（「a が b に含まれる」と表現することもある）ことを意味する。
ツェルメロ＝フレンケル集合論の超数学は広く研究されてきた。この分野で確立された画期的な結果は、選択公理とZF公理の論理的独立性およびZFCと連続体仮説の独立性が示されたことである。ゲーデルの第二不完全性定理が示すように、ZFCなどの理論の無矛盾性はその理論自体の中で証明することはできない。

選択公理（または同値な命題）
→「選択公理」も参照
任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
(引用終り)
以上

部分環の単位元

>>862
>部分環の単位元

ふむ
部分環とイデアルの関係か（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%92%B0
部分環
部分環（ぶぶんかん、英: subring）は、環 R の部分集合 S で、R の加法と乗法をそこに制限するときそれ自身が環となり、かつ R の単位元を含むものを言う。単位元を持つことを仮定しない場合には、R の演算の制限で S が環を成すことのみを以って部分環を定義する（この場合も自動的に S は R の加法単位元を含む）。後者は前者よりも弱い条件であり、例えば任意のイデアルは（たとえ乗法的単位元を持つ環においても）後者の意味の部分環になる（この部分環が、もとの環とは異なる乗法単位元を持つ場合もあり得る）。（本項で扱う）単位元の存在を定義に含める場合には、R の部分環となるようなイデアルは R 自身に限る。

定義といくつかの事実
環 (R, +, ∗, 0, 1) の部分環とは、R の部分集合 S で環構造を保存するものを言う。即ち (S, +, ∗, 0, 1) は環であり S ⊆ R を満足する。同じことだが、加法群 (R, +, 0) の部分群かつ乗法モノイド (R, ∗, 1) の部分モノイドとなるものということもできる。

イデアルとの関係
真のイデアルは、R の加法について閉じた部分集合で、R の元による左および右からの乗法に関して閉じているようなものである。
環の定義から単位元を持つという仮定を落として考える場合には、部分環は空でなく環構造を保ちさえすればいいのであるから、任意のイデアルは部分環になる。イデアルはその環構造に関する乗法単位元（もとの環の単位元とは異なる）を持つ場合も持たない場合もあり得る。
・成分ごとの加法と乗法を持つ環 Z × Z = {(x,y) | x,y ∈ Z} のイデアル I = {(z,0) | z ∈ Z} は乗法単位元 (1,0) を持つがこれはもとの環 Z × Z の単位元 (1,1) とは異なる。つまり、I は単位的環で Z × Z の「非単位的部分環」だが「単位的部分環」ではない。
・整数環 Z の真のイデアルは乗法単位元を持たない。

可換部分環による説明
略す

定義が揺れる場合もありますからね。
それぞれの定義で正しく認識する必要がありそうです。

>>・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
>ソースは？

おサル、ソース出せずにお茶を濁してごまかす
そりゃそうやろ　独善妄想にソースなんて無いからな

>>865
タシカニ

ChatGPT曰く

・実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分。
・しかし、その実数体系の完備性や、デデキント実数との一致、
あるいは通常の解析学を展開する段階では ACωが必要になることがある。

素人は両者を区別せず混同して間違う

>>859-861
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
>ツェルメロ＝フレンケル集合論
>選択公理（または同値な命題）
>任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
>これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、
>X の全順序であることを意味する。
>∀X ∃R[R well-orders X]
>ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
>(引用終り)

上記のKunenの選択公理（通常整列可能定理と呼ばれるもの）の記述をふまえて
　>>793に もどる
(引用開始)
サル、大混乱してて草。
「「実数全体を好きな順序で整列できる」⇒「R上の任意の全順序は整列順序」」は正しい。
一方「R上の任意の全順序は整列順序」には反例：通常の大小関係がある。よってサルの主張「実数全体を好きな順序で整列できる」は間違い。
サルは論理が分からないから大学一年4月に落ちこぼれた。
(引用終り)

ここの
『一方「R上の任意の全順序は整列順序」には反例：通常の大小関係がある。
　よってサルの主張「実数全体を好きな順序で整列できる」は間違い』・・・
って なんなの？ ロジック破綻だろ？？ 『反例：通常の大小関係がある』？？？ これ発狂してないか？ｗｗｗ （＾＾

テンプレ入りです

>>「実数の構成に選択公理が必要」という君の独自説がそんなに面白いかい？
>
>必要だ。簡単に カントールの実数の構成 有理コーシー列を使う場合に限定するよ
>有理コーシー列は、加算無限有理数列だ。要するに、有理数Qから有理数を取り出して
>q0,q1,q2,・・,qi,・・ なる無理数rに収束する列を作る（細かくは rに収束する列は一つに限らないから 同値類を考える）
>q0,q1,q2,・・,qi,・・は、集合の元を整列させているってこと
>つまりは、整列可能定理が使える
>列長さが ω（＝最初の無限順序数）のときは、可算選択公理で足りる
>が、なんらの選択公理の不使用 つまり 可算選択公理さえ使わないならば
>加算無限有理数列は、構成できない！

>>867
>ChatGPT曰く
>・実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分。
>・しかし、その実数体系の完備性や、デデキント実数との一致、
>あるいは通常の解析学を展開する段階では ACωが必要になることがある。
>素人は両者を区別せず混同して間違う

面白い
　>>831 より再録
(google検索)
Construction of real numbers using rational Cauchy sequences and Axiom of countable choice in ZF axiomatic set theory
AI概要
Constructing real numbers as equivalence classes of rational Cauchy sequences formalizes the idea that any real number is the limit of approximations. In ZF, the Axiom of Countable Choice (ACω) is required to prove that these equivalence classes form a mathematically complete field.
1. The Setup: Rational Cauchy Sequences
略

2. The Equivalence Relation
略

3. Arithmetic Operations
略
4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.
(引用終り)

google AIと ChatGPT対決かな おもしろい
さて、そこでやったなら ChatGPTに
選択公理抜きの ZF だけの 有理コーシー列による実数構成を きちんと最後までやってもらえ
できるならね よろｗｗ
その証明の成否を こっちのAIにかけるかｗｗｗ

>>870 タイポ訂正

さて、そこでやったなら ChatGPTに
　↓
さて、そこまでやったなら ChatGPTに

>>868
>『一方「R上の任意の全順序は整列順序」には反例：通常の大小関係がある。
>　よってサルの主張「実数全体を好きな順序で整列できる」は間違い』・・・
>って なんなの？ ロジック破綻だろ？？ 『反例：通常の大小関係がある』？？？ これ発狂してないか？ｗｗｗ （＾＾
通常の大小関係はR上の全順序かつ非整列順序、実際、任意の実数x,yは大小比較可能かつ最小の正の実数は存在しない
サル発狂

>>869
>テンプレ入りです
いいね！
ここまで酷い妄言は滅多にお目にかかれない

>>870
ソースまだ？

>>870
>選択公理抜きの ZF だけの 有理コーシー列による実数構成を きちんと最後までやってもらえ
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
The only real number axiom that does not follow easily from the definitions is the completeness of ≤, i.e. the least upper bound property. It can be proved as follows: Let S be a non-empty subset of
R'and U be an upper bound for S. Substituting a larger value if necessary, we may assume U is rational. Since S is non-empty, we can choose a rational number L such that L < s for some s in S. Now define sequences of rationals (un) and (ln) as follows:
Set u0 = U and l0 = L. For each n consider the number mn = (un + ln)/2. If mn is an upper bound for S, set un+1 = mn and ln+1 = ln. Otherwise set ln+1 = mn and un+1 = un.
This defines two Cauchy sequences of rationals, and so the real numbers l = (ln) and u = (un). It is easy to prove, by induction on n that un is an upper bound for S for all n and ln is never an upper bound for S for any n.
Thus u is an upper bound for S. To see that it is a least upper bound, notice that the limit of (un − ln) is 0, and so l = u. Now suppose b < u = l is a smaller upper bound for S. Since (ln) is monotonic increasing it is easy to see that b < ln for some n. But ln is not an upper bound for S and so neither is b. Hence u is a least upper bound for S and ≤ is complete.

御大、>>869になぜかノーコメント
おサルからもコメント請えよ。つね日頃媚びへつらってるから請えばくれるんじゃね？

御大が不在だから過去スレでも掘り起こすかな。

>>867
>ChatGPT曰く
>・実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分。
>・しかし、その実数体系の完備性や、デデキント実数との一致、
>あるいは通常の解析学を展開する段階では ACωが必要になることがある。
>素人は両者を区別せず混同して間違う

まずZFCより
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する[4]。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。
（連番は筆者が付けた）
1）外延性の公理：任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない
2）正則性公理：略
3）分出公理図式：分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できる
　ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる
4）対の公理：任意の集合 xと y について、少なくとも xと y を元とする集合が存在する
5）和集合の公理：略
6）置換公理図式：置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。
7）無限公理：略
8）冪べき集合公理：略
9）選択公理（または同値な命題）：任意の集合 X に対して、 X を整列する二項関係 R が存在する。
これは R が、空でない X のどの部分集合も R のもとで最小元を持つような、
X の全順序であることを意味する。
∀X ∃R[R well-orders X]
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
(引用終り)

さて、このZFC公理群で、Kunenの設定：選択公理に同値な命題の整列可能定理
これが唯一の(無限集合）整列順序 R を与える公理です
この選択公理＝整列可能定理 以外には、直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理は無い！
整列順序 R から、無限長の数列を作ることは 容易だ
逆に、無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って 無限集合に 整列順序 R を与えることは容易
まず このことを認めたらどう？

そして『実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分』を、Chatさんにやってもらってね
弱い可算選択公理ACωも含めて 一切の選択公理を使わずにね
一つ二つコーシー列を作ってもダメだよ
求めているのは 集合としての実数Rで
有理数Qを完備化したもので、負数-1の平方根iを添加すると 複素数の集合Cが得られて 代数閉体になるもの
がんばれ、チャッピーくん！

彼の人は輪を掛けて頭悪く成りつつあるな

とりあえず、今ある猫スレの意味は分かってきた。

>>878
>この選択公理＝整列可能定理 以外には、直接 無限集合の 整列順序 R を扱う公理は無い！
無限集合である自然数全体の集合は集合論の標準構成において集合の包含関係⊂で整列集合。

>そして『実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分』を、Chatさんにやってもらってね
>弱い可算選択公理ACωも含めて 一切の選択公理を使わずにね
おサル、>>875が読めず。

サルに数学は無理なので諦めた方が良い

動物板
動物は可愛いがらないと、閉鎖するよどこかがw

>>875
ChatGPTが投稿者の強い主張をたしなめてるけどｗ

この投稿者は、かなり強い主張をしていますが、実は途中で
> 「無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って無限集合に整列順序を与えることは容易」
という部分が成立していません。
ここが論点です。

### 1. ZFで有理数列全体の集合は作れる
ZFには
* 無限公理
* 冪集合公理
* 置換公理
があります。

まず自然数集合 (\omega) が存在します。
有理数集合 (\mathbb Q) もZFで構成できます。
すると
[
\mathbb Q^\omega
]
すなわち
[
f:\omega\to\mathbb Q
]
なる関数全体の集合は、冪集合公理から存在します。
これは「有理数列全体の集合」です。
ここで選択公理は使っていません。
重要なのは、
> 各列を一本ずつ選んで作る
必要がないことです。
ZFは
> 関数全体の集合
を一括して作れます。
---

### 2. コーシー列の集合もZFで作れる
コーシー列条件
[
\forall k\in\omega,
\exists N\in\omega,
\forall m,n\ge N
\Bigl(
|a_m-a_n|<\frac1{k+1}
\Bigr)
]
は (\mathbb Q^\omega) 上の論理式です。
分出公理により
[
\mathrm{Cauchy}(\mathbb Q)
]
（有理数コーシー列全体）
は集合になります。
ここにも選択公理は不要です。
---

### 3. 同値類もZFで作れる
関係
[
(a_n)\sim(b_n)
]
を
[
\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0
]
と定義します。
これはZFで定義可能な同値関係です。
商集合
[
\mathrm{Cauchy}(\mathbb Q)/!\sim
]
も置換公理などにより構成できます。
これがコーシー実数です。
ここまでACもACωも不要です。
---
### 4. 投稿者の誤解
投稿者は
> 実数を作るにはコーシー列を選ばなければならない
と思っています。
しかし実際には
> コーシー列全体の集合を作る
のであって、
> 各実数について代表列を一本ずつ選ぶ
わけではありません。
ZFが苦手なのは
> 各同値類から代表元を一本ずつ選べ
という種類の主張です。
それがまさに選択公理です。
しかし実数構成ではそんなことはしていません。
---

### 5. 「数列が作れれば整列できる」も誤り
さらに
> 無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って無限集合に整列順序 R を与えることは容易
も一般には偽です。
例えばZFでは
* 可算列を持たない無限集合
* 整列不能集合
が存在し得ます。
また
[
\mathbb R
]
自身についても
ZFでは
> 実数は整列可能である
は証明できません。
これは選択公理と同値です。
つまり
[
\omega\to A
]
という数列が存在することと
[
A
]
を整列できることは全く別問題です。
---

### 結論
この投稿への一番短い反論は、
> 「実数をコーシー列の同値類として構成する」とは、『各実数についてコーシー列を一本ずつ選ぶ』ことではなく
『有理数列全体の集合 (\mathbb Q^\omega) からコーシー列の部分集合を切り出し、その商集合を作る』ことである。
です。
したがって
> 『実数をコーシー列の同値類として定義するだけならZFで十分』
という元の主張は、少なくとも構成そのものについては標準的な集合論の教科書通りであり
投稿者の「コーシー列を使うなら選択が必要だ」という強い反論は通用しません。
ただし、
> コーシー実数とデデキント実数の一致
や
> 解析学で使う様々な完備性定理の同値性
になると、そこで可算選択公理（ACω）やさらに強い選択原理が絡んでくる・・
というのがより正確な説明です。

>>878
>そして『実数をコーシー列の同値類として定義するだけなら ZF で十分』を、Chatさんにやってもらってね
>弱い可算選択公理ACωも含めて 一切の選択公理を使わずにね

Q.集合論で有理数体を前提として実数体を構成するのに選択公理は必要ですか？
A.有理数体から実数体を構成する際、選択公理は必要ありません。標準的な構成法（デデキントの切断、またはコーシー列の同値類）は、いずれも選択公理（ZF公理系以外の追加公理）に依存せず、ZF公理系の範囲内だけで完全に構成可能です。

>まず自然数集合 (\omega) が存在します。
>有理数集合 (\mathbb Q) もZFで構成できます。
>すると
>[
>\mathbb Q^\omega
>]
>すなわち
>[
>f:\omega\to\mathbb Q
>]
>なる関数全体の集合は、冪集合公理から存在します。
>これは「有理数列全体の集合」です。

>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
>『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾

AIに嘲笑されるおサルｗ

これもテンプレ入りです
>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
>『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾

>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
人に百回音読しろと言うわりに自分はまったく読んでないサル
印籠よろしく掲げれば相手はひれ伏すとでも思ってるのかな？　浅はかだねえ

>>889
そのようです

>>880
君の存在の意味はどんどん分からなく成りつつあり

そりゃ、私は間違いをやりこめる趣味は無いからね。
御大は現在出張中と思われるから、こちら側は手薄だ。
あまり不用意なことを言って貰われると、私にも救いようがないことくらいは分かるだろ。

整列集合の響きと定義の剥離が今回の問題の発端なんじゃないの？
最近私は図書館で本を借りるのを再開しているから、そのうち何か書くつもり。
解かれない問題を作る身にもなれってのw

群論の答えをほぼ発表するが、位数36の群を探せば出てくるから。
何も書かれなければ、明日正式に発表する。
今夜はそろそろ寝る。

>>893
いつまでも勝手な人だね
君の事情は他人にはどうでもいい
ただただ繰らないことを言う人になりつつあり

下らない