スレタイ箱入り無数目を語る部屋35(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part9ｗ)

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1789040887/
前スレ スレタイ箱入り無数目を語る部屋34(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part8ｗ)

(参考)時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

つづき

３．
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(s^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s^k) が取り出せるので
(代表)列r のD番目の実数rDを見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はs^k(D)＝rDと賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・, rD：ここで^kは上付き添え字、(D+l), Dなどは下付添え字

さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」

つづく

つづき

＜(類似)吉田大学 札つきの定理＞
https://www.bookshop-ps.com/bsp/bsp_magcode?sha=1&sho=0779903125
BOOK 月刊ｆｌｏｗｅｒｓ 3月号（発売日: 2025/01/28）
［数字であそぼ。］　絹田村子　第７６話　札つきの定理 39
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%97%E3%81%A7%E3%81%82%E3%81%9D%E3%81%BC%E3%80%82
『数字であそぼ。』
作品は京都大学数学科出身者に取材した内容を元にしており
ストーリーは先にシチュエーションを考え、数学科出身の人に数学ネタをどう絡められるか意見を聞きながら組み立てている[5][9]。逆に数学のネタが最初にあり、そこからストーリーにしている話もある[5]。

https://imgur.com/YBM7QSE
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 1 P40 251220.jpg
https://imgur.com/gl39oJc
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 2 P42 251220.jpg
https://imgur.com/1E6b4P9
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 3 P60 251220.jpg
・(可算)無限個のサイコロが振られ隠されている
・２列に並べる
次にサイコロの目の並び{1,2,3,4,5,6}^Nに
有限個の違いを無視する同値関係を入れる
そしてその各同値類について代表元を選んでおく（選択公理により可能）
・１列目のサイコロの目を確認し
それが属する同値類の代表元と
１列目が一致し始めるのがn1個目とする *)
２列目についてその代表元が一致し始めるのが
n2番目とすると、
対称性からn1<n2となる確率は1/2以下
・2列目のn1個目をのぞくサイコロの目を確認し
それが属する同値類の代表元のn1個目の目と
2列目のn1個目のサイコロの目が
一致する確率は1/2以上
（ *)注：ｎ(1)→n1 ｎ(2)→n2 と略記した）

https://imgur.com/njEDHkd
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 4 P62 251220.jpg
https://imgur.com/wHI3DZv
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 5 P64 251220.jpg
・この問題の方法は成り立たない
・n1,n2は確率変数になっていないから
https://imgur.com/iR4UNuV
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 6 P66 251220.jpg
・”ランダムに選んだ自然数のどちらが大きいか”みたいな話に結局なっちゃう
・なるほどな 確かにそうだよな！
(引用終り)

＜余録＞
第76話の最後から第77話への部分下記
https://imgur.com/sYOVZhR
吉田大学 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子の 9 P72 251220

つづく

つづき
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
　Denisの経歴で、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しいらしい
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています

なお ”試しに"Alex Pruss Conglomerability"で検索した結果 Alexander Pruss本人のBlogが見つかった”スレ25 414-415
https://alexanderpruss.blogspot.com/2024/09/independence-conglomerability.html
Alexander Pruss's Blog September 11, 2024
Independence conglomerability
Conglomerability says that if you have an event E and a partition {Ri : i ∈ I} of the probability space, then if P(E∣Ri) ≥ λ for all i, we likewise have P(E) ≥ λ.
Conglomerabilityとは、ある事象Eと確率空間の分割{Ri:i∈I} があるとき、
すべてのi に対してP(E∣Ri) ≥λならば、同様にP(E) ≥λ が成り立つというものである。
Example: I am going to uniformly randomly choose a positive integer (using a countably infinite fair lottery, assuming for the sake of argument such is possible). For each positive integer n, you have a game available to you: the game is one you win if n is no less than the number I am going to pick. You despair: there is no way for you to have any chance to win, because whatever positive integer n you choose, I am infinitely more likely to get a number bigger than n than a number less than or equal to n, so the chance of you winning is zero or infinitesimal regardless which game you pick.

つづく

つづき
But then you have a brilliant idea. If instead of you choosing a specific number, you independently uniformly choose a positive integer n, the probability of you winning will be at least 1/2 by symmetry. Thus a situation with two independent countably infinite fair lotteries and a symmetry constraint that probabilities don’t change when you swap the lotteries with each other violates independence conglomerability.

なお、検索 a countably infinite fair lottery で、下記ヒット ノンスタ使って、うんぬんかんぬん。でも、”1/2 by symmetry”は出てこなかったので ダメみたいですね
https://philarchive.org/archive/WENFIL
Synthese DOI 10.1007/s11229-010-9836-x
Fair infinite lotteries Sylvia Wenmackers · Leon Horsten
Received: 2 September 2010 / Accepted: 14 October 2010 ©TheAuthor(s) 2010. This article is published with open access at Springerlink.com
Abstract
This article discusses how the concept of a fair finite lottery can best be extended to denumerably infinite lotteries. Techniques and ideas from non-standard analysis are brought to bear on the problem.

(参考)
http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf?
Choice Games November 4, 2013
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.

Sergiu Hart氏は、ちゃんと”シャレ”が分かっている（関西人かもｗ）
Some nice puzzles Choice Games と、”おちゃらけ”であることを示している
かつ、”P2 Remark.”で当てられないと暗示している
また、”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”
で、選択公理なしで同じことが成り立つから、”選択公理”は、単なる目くらましってことも暗示している

つづく

つづき
<時系列>
1)(最初はこれだろう。Sergiu Hartの文書から)
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
Written by mkoconnor August 23, 2008
About：my name is Michael O’Connor. I received my Ph.D. in mathematics from Cornell in August 2008.

2)>>6
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013 Sergiu Hart http://www.ma.huji.ac.il/hart/
注記：Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it from ..., who heard it from ... . For a related problem, see http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
P2：Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0,1] and {0,1,...,9}, respectively.
とあり、コルモゴロフ拡張定理により Choice Games がトリックであることを示唆している

3)>>5
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 Denis
” I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N−1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
注記
https://mathoverflow.net/users/21059/denis
Denis ENS Lyon, Lyon, France http://perso.ens-lyon.fr/denis.kuperberg
ENS：高等師範学校 (パリ) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%B8%AB%E7%AF%84%E5%AD%A6%E6%A0%A1_(%E3%83%91%E3%83%AA)
(たぶんENSの)”other people”は、”argue it's not ok”

4)>>1
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目(数学セミナー201511月号)前
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目(数学セミナー201511月号)後
注)
”この問題は Peter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい”と
また
”本記事の目的は，確率99% で勝てそうな戦略を供することにある”
(『勝てそうな』としているところにご注目。『勝てる戦略』ではない！ｗ)

5)>>4
数字であそぼ第76話 札付きの定理 小学館絹田村子
https://imgur.com/1E6b4P9
https://imgur.com/wHI3DZv
https://imgur.com/iR4UNuV

https://www.bookshop-ps.com/bsp/bsp_magcode?sha=1&sho=0779903125
BOOK 月刊flowers3月号(2025/01/28)
［数字であそぼ］札つきの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%97%E3%81%A7%E3%81%82%E3%81%9D%E3%81%BC%E3%80%82
作品は京都大学数学科出身者に取材した内容を元にしており
ストーリーは先にシチュエーションを考え、数学科出身の人に数学ネタをどう絡められるか意見を聞きながら組み立てている[5][9]。逆に数学のネタが最初にあり、そこからストーリーにしている話もある
つづく

つづき

だめなのは、時枝記事だ。まあ、題名はおちゃらけだが、もっとはっきり、数学パズルとした方がよかったろう
非可測で、ヴィタリに言及しているのが、ミスリードだ
Hart氏の”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”のように、選択公理不使用のGAME2があるから、
ソロヴェイの定理（下記 wikipedia ご参照）から、ヴィタリのような非可測は否定される
conglomerabilityか、あるいは総和ないし積分が発散する非正規な分布により、可測性が保証されないと考えるべき
時枝氏は、確率変数の無限族の独立性が理解できていないのも痛いね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AD%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
ソロヴェイモデル
ソロヴェイモデルはロバート M. ソロヴェイ (1970)によって構成されたモデルでツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) の全ての公理が成り立ち、選択公理を除去し、実数の集合が全てルベーグ可測であるようにしたものである。この構成は到達不能基数の存在に依拠している。
これによってソロヴェイはルベーグ不可測集合の存在をZFC (ZF+選択公理) から証明するには、少なくとも到達不能基数の存在がZFCと矛盾しない限り、選択公理が本質的に必要であることを示した。
ステートメント
DC は従属選択公理の略記とする。
ソロヴェイの定理は次のことである。 到達不能基数の存在を仮定する。このとき、適切な強制拡大 V[G] の ZF+DC の内部モデルであって、実数のいかなる集合も全て、ルベーグ可測であって perfect set property を満たしベールの性質を満たすというモデルがある。
構成
ソロヴェイはそのモデルを二つのステップによって構成した。まず初めに、到達不能基数 κ を含む ZFC のモデル M から始める。
最初のステップでは M のレヴィ崩壊 M[G] を取る。
略
(引用終り)

つづく

つづき

（完全勝利宣言！ｗ）（＾＾
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1666352731/767 スレ4 (775の修正を追加済み)
>>701-702 補足説明
　>>760にも書いたが、
”　a)確率上、開けた箱と開けてない箱とは、扱いが違う”>>701
をベースに、時枝記事>>1のトリックを、うまく説明できると思う

１）いま、時枝記事のように
　問題の列を100列に並べる
　1〜100列 のいずれか、k列を選ぶ(1<=k<=100)
　k以外の列を開け、99列の決定番号の最大値をdmax99 とする
　k列は未開封なので、確率変数のままだ
　なので、k列の決定番号をXdkと書く
２）もし、Xdk<=dmax99 となれば、dmax99+1以降の箱を開けて
　k列の属する同値類を知り、代表列を知り、dmax99番目の箱の数を参照して
　その値を問題のk列の箱の数とすれば、勝てる
（∵決定番号の定義より、dmax99番目の箱は、問題のk列とその代表とで一致しているから）
３）しかし、決定番号は、
　自然数N同様に非正則分布>>13だから、これは言えない
　つまり、確率はP(Xdk<=dmax99)=0 とすべきだ
（非正則分布なので、上限なく発散しているので、dmax99<=Xdk となる場合が殆ど）
４）もし、決定番号が、[0,M]（Mは有限の正整数）の一様分布ならば
　dmax99が分かれば、例えば、
　0<=dmax99<=M/2 ならば、勝つ確率は1/2以下
　M/2<=dmax99<=M ならば、勝つ確率は1/2以上
　と推察できて
　それを繰り返せば、大数の法則で、P(Xdk<=dmax99)=99/100が言えるだろう
（注：dmax99は、100列中の99列の最大値なので、P(Xdk<=dmax99)=99/100が正しいだろう）
　しかし、非正則分布では、このような大数の法則は適用できない
５）人は無意識に、決定番号も正則分布のように錯覚して、トリックに嵌まるのです
　しかし、非正則分布では、大数の法則も使えない
　結局、時枝記事の99/100は、だましのトリックってことです

つづく

つづき

さて、上記を補足します

１）いま、加算無限の箱が、iid 独立同分布 とします
　箱を、加算無限個の確立変数の族 X1,X2,・・Xi・・ として扱うのが
　現代の確率論の常套手段です
２）いま、サイコロ1〜6の数字を入れるならば、任意Xiの的中確率は1/6
　コイントス 0,1の数字を入れるならば、的中確率は1/2
　もし、区間[0,1]の実数を入れるならば、的中確率は0
　もちろん、時枝記事の通り任意実数r∈Rならば やはり、的中確率は0
　です
３）ところが、時枝記事では、確立変数の族 X1,X2,・・Xi・・ を100列に並べ替え
　数列のしっぽ同値類の類別と、類別の代表を使って、決定番号を決めて
　決定番号の大小比較から、ある箱Xjについて、的中確率99/100に改善できる
　と主張します
４）「そんなバカな！」というのが、上記の主張です

マジ基地は無視してさらに補足します

１）時枝記事の決定番号をdとすると、dは1から無限大(∞)までを渡ります
　このような場合、しばしば非正則分布（正則でない）を成します（下記）
２）非正則分布の場合、全体が無限大に発散して、平均値も無限大になり
　分散や標準偏差σなども、無限大に発散します
３）具体例として、テスト回数無限回の合計点で成績評価をする場合を考えます
　テスト回数が、１回、２回、・・n回、・・
　もし、テスト回数が有限なら 例えば100回で1回の満点100点として、総計10,000(1万)点ですが
　テスト回数が無限回ならば、毎回1点の人の総計も無限大(∞)に発散し
　毎回100点満点の人の総計も無限大に発散しまず
　試験の点の合計では、毎回1点の人も毎回100点も区別ができなくなります
　この合計については、平均は無限大、分散や標準偏差σなども無限大に発散します
４）ところで、時枝氏の数学セミナー201511月号の記事では
　このような非正則分布を成す決定番号を、あたかも平均値や分散・標準偏差σが有限である
　正則分布のように扱い、確率 99/100とします

これは、全くのデタラメでゴマカシです

(参考)
https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
AVILEN Inc. 2020
2020/04/14
非正則事前分布とは？〜完全なる無情報事前分布〜
ライター：古澤嘉啓
目次
1 非正則な分布とは？一様分布との比較
2 非正則分布は確率分布ではない！？
3 非正則事前分布は完全なる無情報事前分布
4 まとめ

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
2013年度前期 確率論基礎
Ｐ7
確率空間例サイコロ投げの場合
確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N∋ω＝{ω1,ω2,・・・}
ωnは1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す．
確率はη1,η2,・・・ηnを与えて
P(ω1=η1,ω2=η2,・・・ωn=ηn)＝(1/6)^n
と定めればよい．これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorovの拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

つづく

つづき

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1710632805/536 スレ18
再録>>150より
　>・箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う
　入れた目をx、賭ける目をyと書く
　xが確率変数ならばyに依存せず的中確率=1/6であるはず
　しかし実際には　x=yのとき的中確率=1　x≠yのとき的中確率=0
　よって矛盾
　よってxは確率変数でない
　一方、yをランダム選択した場合、yが確率変数である
　実際、この場合はxに依存せず的中確率=1/6である
　以上の通り、「見えないもの＝確率変数」は間違い
(引用終り)

・そういえば、中学生の時代に似た疑問をもった記憶がある
　この話は記憶の彼方（解決したのか不明）
・さていま考えてみると、>>99の2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”の応用で解ける
　>>209よりこの問題のΩは、”サイコロを2回ふったとき”
　Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
　(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
　(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
　(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
　(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
　(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}で
　組合せ6x6の36通り、２次元で考える必要がある
　サイコロ1回だとΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　普通のサイコロだと確率は各1/6ですが、いびつサイコロだと確率p1,p2,p3,p4,p5,p6≠1/6 で扱う
・いま、簡単に箱一つ 正常なサイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6
　一方数当ての人が唱える数が、1〜6のランダムとして、これを確率変数Yで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6
　よって、的中は同じ数で揃った場合で、(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り 6＊1/36＝1/6で理論通り
・別に、数当ての人が唱える数が 1〜6だが偏りがあるとして p'1,p'2,p'3,p'4,p'5,p'6≠1/6(どれかは1/6ではないが 総和Σi=1〜6 p'i =1)
　とすると、確率 1/6*p'1+1/6*p'2+1/6*p'3+1/6*p'4+1/6*p'5+1/6*p'6
　＝1/6(p'1+p'2+p'3+p'4+p'5+p'6）＝1/6(つまり理論通り)
　サイコロが正常だと、数当ての人が唱える数に偏りがあっても、的中確率1/6
・さて、的中確率1/6に成らない場合がある
　例えば、偏ったサイコロで3が出やすく確率1/2とする。それを見抜いた数当ての人が唱える数が常に3なら的中確率1/2になる

よって、「箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う」として 矛盾はない！

つづく

つづき

(参考)
mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画
確率 – 2008年東工大 数学 第3問 20230227
2008年東工大 数学 第3問 はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです。
2008年東工大 数学 第3問
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする。
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。

<解答例>
　いま、各目の確率をpi (i=1〜6)とする。Σpi＝1である(ここにΣはi=1〜6の和を表す（以下同じ）)
　なお いびつなサイコロなので、必ずしもpi=1/6ではない
　偏差σ＝Σ(pi-1/6)^2を考える。平方の部分(pi-1/6)^2 を展開すると
　σ＝Σ(pi)^2-Σ2(1/6)pi+6(1/6)^2 (ここで P=Σ(pi)^2 及び Σpi＝1 に注意すると)
　σ＝P-1/3+1/6＝P-1/6 ≧0 となる（最後の不等式≧の部分は、冒頭の偏差σ＝Σ(pi-1/6)^2（平方の和)≧0から従う）
　よって、P≧1/6で、等号成立はすべてのi=1〜6で pi=1/6の場合のみ（つまり、正規のサイコロの場合）
上記の解答例で
i)”各目の確率をpi (i=1〜6)とする”のが、確率変数の考えですよ
　（確率変数Xで ｆ：X=i → pi という対応が成立している）
ii)これをベースに、各piから問の”サイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をP”に落とし込むのが上記解法です
iii)『箱の中にサイコロの目を入れた時点である一つの目に固定され、他の目の可能性はゼロ』
　という妄想に走ると、2008年東工大の確率の問題は解けなくなります！

つづく

つづき

あなた方は、”固定”確率論の論文を書かれたら宜しいかと思います
その論文が出るまで、相手にする必要なし
（なお、時枝氏の記事>>1には、用語”固定”は使われていない！）

＜再投稿＞
ふっふ、ほっほ
固定！ 固定！ 固定だぁ〜！かｗｗ　 ；ｐ）

じゃあ、その考えで>>791
　>>008 2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”
　mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(引用終り)

を解いてみな
解けたら、あんたの主張を認めてやるさ ；ｐ）

サイコロを振る
１回目に、出目で３が出たとする
”出目３”固定だね
いいよ、固定でｗ・・

で？ どうするの？ その後どうするの？
『(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ』
を、あなたの”固定”を使って示せ！！ｗｗ 　；ｐ）

あなたの”固定”の無力を実感しなさい！！
あなたの”固定”は、2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”の確率問題に対し 無力ですよ！！ｗｗｗ ；ｐ）

”固定”なんて、ド”ハマリ”ですよｗ ；ｐ）
確率の問題と、なんの関係もないｗｗｗ

つづく

つづき
下記関連の5つの文書で
いずれも ”固定”だの”定数”だのと
幼稚な数学の混乱をしている文書なし！
”固定”だの”定数”だのを言い出した時点で
数学ロジック破綻は明白

(参考)
1）2008年 囚人と帽子パズル が元ネタとある
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
Written by mkoconnor August 23, 2008
Here’s a puzzle:

2）November 4, 2013
既に述べたが Hart氏
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013 Sergiu Hart http://www.ma.huji.ac.il/hart/

3）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis

4)数学セミナー201511月号
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

5）
https://imgur.com/1E6b4P9
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 3 P60 251220.jpg
https://imgur.com/wHI3DZv
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 5 P64 251220.jpg
https://imgur.com/iR4UNuV
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 6 P66 251220.jpg
つづく

つづき

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1729769396/769 スレ26
より
769現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10(日) 16:14:30.43ID:zvgSRz4H
>>761
(引用開始)
> その代表は、dmax+1 以降 しっぽ側の一致までは分っているが
> しかし、dmax番目の箱の中は不明だ
> 選んだ代表のdmax番目の数と 問題の残った1列のdmax番目の箱の数が一致する確率は…
　そのあとの計算って、ただ箱の中身がランダムだとした場合の計算してるだけだよね？
　つまり、問題の条件、全然使ってないよね？
　それ、君が🐎🦌ってことだよね？
(引用終り)

君は、数学の公理の考えが分ってないね
ゆとり世代の数学科オチコボレ？
昔は、小学校でユークリッド幾何の公理で、公理の考え方を叩き込まれたものだ
点とは、大きさも面積も長さも持たない
線とは、長さのみを持ち 幅は0
線分は、異なる2点を結ぶ最短の線
直線は、線分を無限に伸ばしたもの

まあ、平たくいえば 公理系は スポーツやゲームのルールみたいなものだ
ルールの中で、自分のやりたいようにして良いが、ルール違反はダメってこと

さて
いま、>>747のように j列中でどれか1列を残し 他を開けて j-1個の同値類を特定したとする
ここから j-1個の代表を選んで j-1個の決定番号を得て それらの最大値 dmaxを得る

dmaxは大きければ大きいほど良い
残した 一つの列の決定番号（いまd'とおく）より、大きければ良い
d' ≦ dmax としたい

次に、残した列のdmax+1以降のしっぽの箱を開けて、しっぽ同値類が特定できたとする
このしっぽ同値類から、出来るだけ 決定番号d'が小さくなるように 代表を選びたい
d' ≦ dmax としたい

だから、決定番号がdmax+1より大きい元（数列）は、代表として論外で捨てる
そうすると、決定番号がdmax+1以下の元（数列）が、残る
ここから、d' ≦ dmax としたい
でも、dmax番目の箱は未開封なので 箱の中の数は、未知数だ
なので、決定番号がdmax+1以下の元（数列）に絞ったあとで、”d' ≦ dmax”が実現出来るかどうかは、従来の確率論通りだ■

つづく

つづき

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1729769396/778 スレ26
より
778現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10 ID:zvgSRz4H
>>777
>　数列なんか一つも見る前に全同値類の代表は選択されている
>　だから100列の決定番号は箱を一つも開けるまえから決まっている

ふっふ、ほっほ

　（>>719より再録）
3）結局、手順が異なると 異なる確率計算結果になるのは、決定番号を使う確率計算というものは
　well-defined でないってことだ（下記 『最終的な結論が中途の表式に依存している』）
4）そして、その原因は テンプレの>>4-5 に引用してあるが
　 ”infinite fair lottery”状態
　つまり、決定番号が自然数N全体を渡り Ω＝N で P(Ω)＝1とできない（Ωが無限大に発散）
　だってことだね
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined[注釈 1]（ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。
経由する中途の表式に依存しない
往々にして、（数学上の）定義はいくつもの表式を経由する[注釈 3]。このとき、最終的な結論が中途の表式に依存している場合[注釈 4]、well-defined であるとは言えない。
つまり定めた対象が一意に存在しているとき、well-defined であるという。

つづく

つづき

rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1729769396/791 スレ26
791現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10 ID:zvgSRz4H
>>779
>　決定番号を排除したいなら選択公理を否定するしかない
>>787
>「選択公理を仮定すれば箱入り無数目が成立する」
>を否定したいなら
>「選択公理を仮定しても箱入り無数目は成立しない」
>を示さなければならない
>選択公理は要らないとかまったくトンチンカン

ふっふ、ほっほ
おれの主張は、真逆だ

1）選択公理は、お飾りだ。選択公理の否定はしない
　肯定するよ。その上で、>>764で
『・集合族が、有限個の集合で成り立っているとき、『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
・特に、集合族が、1個の集合で成り立っているとき、『選択関数は単に要素に対応するだけなので・・、自明』
・さて、いま j列中でどれか1列を残し 他を開けて 有限j-1個の同値類を得る
　有限j-1個の同値類から、各一つの元を選んで代表とすることは、既述の通りで、ZFの定理にすぎず 選択公理は使わず済ますことは可能
・有限j-1個の同値類から、各一つの元を選んで代表として、それで 有限j-1個の決定番号が テンプレ>>1の方法で得られる』
　を示した
2）選択公理の否定はしない
　が、お飾りだ
　必要な同値類と代表と決定番号は、有限個で済んでいる
　だから、選択公理の否定はしないが、その実
　『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
　で済んでいる
3）では、選択公理の箱入り無数目における役割や如何に？
　雰囲気作りだよ
　如何にも、”パラドックスが起きます”という
　お化け屋敷において、妖しい雰囲気を醸し出す
　「選択公理を使うと過去にパラドックスが出来た事例が沢山」
　「今回も 選択公理を使うパラドックスだ」と思わせる
4）どっこい
　使っている 同値類と代表と決定番号は、有限個で済んでいる
　だから 選択公理は否定しないが
　『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
　で済んでいる

だから、「選択公理を使うパラドックス」は、今回は関係ない
今回は、決定番号で ” infinite fair lottery ”>>4-5
を使っていて、” infinite fair lottery ”で確率計算をしているのがまずいってこと
” infinite fair lottery ”では、全事象Ωが無限大に発散して
P(Ω)＝1の確率公理を満たせなくなっている
それなのに、確率計算をして 99/100 を導く
”99/100”は、決定番号を使う確率計算で well-defined でないってことだ>>778

つづく

つづき
さて
１）決定番号d は、>>278に 書いたように
　>>205 都築暢夫 広島大 の意味で、
多項式環 F[x]から、一つ d-1次多項式 f(x)を選んだことに対応することは, すでに述べた
（簡単に要約すると、1列の可算無限列 R^N を形式的冪級数(つまりは形式的冪級数F[[x]]の元)）
　と見て、一つの同値類で 形式的冪級数で
　代表 f[[x]]と 任意g[[x]]との差 g[[x]]-f[[x]]=f(x) （多項式）とできる ということ
　| f[[x]],g[[x]] ∈F[[x]] ）
２）多項式環 F[x]は、>>205 都築暢夫 広島大 の意味で、任意nに対して 常にn+1が存在し
　F[x]は、（可算）無限次元線形空間になる
３）さて、（可算）無限次元線形空間 F[x] から
　多項式を二つ f(x) m次式 ,g(x) n次式 を選んだ時
　mとnの大小比較が、確率論として成立するのか？
　が問題となる。
　ポイント（問題点）は、『F[x]は、（可算）無限次元線形空間』で、多項式の次数が発散していることだ
４）まず、ミニモデルとして
　（可算無限の）自然数Nで m,n ∈N で考えてよう
　全事象 Ω＝N とすると、明らかに 数え上げ測度 mで、m(Ω)＝∞ であり
　確率測度 P(Ω)=１を満たせない
　このようなときに、確率を考えると パラドックスが起きる場合がある
　例えば、まず先に m を取る。その後 Nからランダムにnを選ぶとする（実は ”ランダム”の定義も問題）
　そうすると、自然数Nは平均値が発散し、標準偏差も発散しれているから
　常に m<n つまり P(m<n)=1
　逆に、n を取り。その後 mを選ぶ 上記同様 P(n<m)=1 で 矛盾
５）これをベースに、>>205 都築暢夫 広島大 の意味で （可算）無限次元線形空間 F[x]を考える
　二つの多項式 f(x) m次式 ,g(x) n次式 を選んだ時
　その次数 mとnの比較もまた、上記と同じ矛盾が生じる

上記より、>>507に対する批判は
最大値関数 ”max({d(s1),...,d(s100)}-{d(si)})”が、発散する量であり
無造作に ”Di≧d(si)”としてしまっているところだね
それは ”スベっている” ということです

つづく

つづき
上記のように
決定番号の集合、それは多項式環F[x]の 元である多項式多項式 f(x)が d-1次であるとき 決定番号がdになるのだが
F[x]は、　>>205 都築暢夫 広島大 の意味で、可算無限次元線形空間になる（下記再録）
ゆえに
確率空間における全事象 Ω＝決定番号の集合（多項式環F[x]の元 多項式多項式 f(x) の次数の集合）
としたとき、Ωは無限集合ゆえ 確率公理P(Ω)=1を満たせないのです
ゆえに
箱入り無数目論法は、矛盾を含んでいるのです！！

(参考)>>205より再録
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
(引用終り)

さて
>>385 再録
1）確率論、確率過程論を知っている人ならば、「箱入り無数目」など抱腹絶倒ものｗ
　特に、確率過程論からみて全然ダメ
2）乱数理論で、乱数を箱にいれたら、当然乱数は他の箱の数を見ても当てられないはず
　当然です。「箱入り無数目」の確率99/100など、噴飯物
3）情報理論からみても、任意実数区間[a,b]｜a＜b
　の実数の的中は非可算無限の話で、可算個の実数のランダムな情報では、的中には、当然情報が不足
4）ルベーグ測度論で、任意実数区間[a,b]で、実数の一点 r∈[a,b] には
　測度は0 (零集合)にしか、なり得ない。確率99/100だ？ 馬鹿も休み休み言え！
まあ、こんな話ですね
まさに 『あほ二人の”アナグマの姿焼き"』ですｗ ；ｐ）
(引用終り)
以上

つづく

つづき
箱入り無数目で、一致の定理を 解析函数から 連続関数や非連続関数へ拡張できるだと？
笑えるぞ
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776607345/783
[0,1]上の連続関数f,gに関して、
あるd∈Rが存在して、x>=dのとき、f(x)=g(x)となる場合、
同値とする

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776607345/808
・”箱入り無数目を完璧に言い換えたもの”ではないだろう
　箱入り無数目の亜種ではあるだろう
・さて、いま100個の関数を f1,f2,・・,fk,・・f100 ｜ k=1〜100
　と書く
・さらに それぞれの決定値をd1,d2,・・,dk,・・d100 ｜ k=1〜100
　としよう
・いま、dk以外の最大値D
　D=max(d1,d2,・・, ,・・d100) とする
　明らかに 0≦D＜1 だ
・関数fk を同定するために D＜D+ε＜1 なる
　微小なεを取って [D+ε, 1) における fk の関数値を調べることで
　fkの属する同値類が分る
・しかし、分るのはそこまで。
　関数論の教えるところ、”連続関数”という条件では
　[D+ε, 1)の関数値から fk(D)の値は決まらない！（関数論の常識）
　（∵連続関数fk(D)の取り得る値は、-∞〜+∞の実数だから）
　（”解析関数”なら可（下記一致の定理）））

余談
>germってこんな定義じゃなかったっけ

層のgermで、層で使うのは”制限写像”(下記)で 外から内部に制限すると思う
一方上記は、制限でなく 拡大だからダメじゃね？　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
一致の定理（Identity theorem）は、実解析と複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの解析関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
定義
前層
・開集合の包含関係 U⊂V に応じて制限写像（せいげんしゃぞう、restriction map）と呼ばれる写像
略す
例
連続関数の層
Xを位相空間とする。X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることでX 上の層が得られる。点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる

つづく

つづき
アホでしょ
再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1776607345/826
>(d≦Dなら決まるのが理解できてない)
>この場合有限区間にしないほうがいい感じ
>実数全体で定義された連続関数で良いね
>連続性なくてもいいから
>(ないとかえって面白みが減るかも)

そうですよ
”面白み”とか抜きにして
箱入り無数目の関数モデルへの拡張
・連続性なくてもいい
・実数全体で定義された連続関数で良い
・100個→任意n個でいい（的中確率 99/100→1-1/n）

でも、普通に ”何かへん”だと感じるだろう
その理由は、札付き・箱入り・関数モデルへの拡張などが
全事象Ωが大きすぎて、実は確率論として破綻しているということ
それで、説明がつく

つまり、下記の根元事象に等しい測度を与えると
1）可算無限の全事象Ωでは、全体の測度が無限大に発散する
2）非可算無限の全事象Ωでは、そもそも個々の根元事象の確率は 0（下記）

この二つの場合において、根元事象は零事象（存在するが確率0の存在）
つまり、”札付き・箱入り・関数モデルへの拡張”全て
根元事象が零事象なのに、d1,d2,・・,d100の大小確率を論じて
確率99/100だと言っているだけのこと■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E5%85%83%E4%BA%8B%E8%B1%A1
根元事象
根元事象の確率が互いに等しいとき、その確率空間を等確率空間という。等確率空間の標本空間は有限集合である。標本空間が無限集合ならば非等確率空間となる
根元事象の確率
標本空間が非可算集合の場合には、個々の根元事象の確率は 0 になってしまう。根元事象を非可算個集めた事象に 0 より大きい確率が定義されていると考える
つづく

つづき
なお
何をランダムとするか？
これには、長い歴史があるようです（下記）

しかし、可算無限個の箱に ”ランダムな数”（実数の乱数）を入れて、ある一つの箱の数を 開けずに 他の箱の数から 推測できるか？
的中できるという マジックｗ
それは、現代の数学の乱数の理論に、真っ向矛盾しています！！ｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/History_of_randomness
（google訳）
ランダム性の歴史
20世紀
20世紀には、確率論の5つの主要な解釈（古典的、論理的、頻度、傾向、主観的など）がより深く理解され、議論され、比較対照されました。[ 35 ]この世紀には、金融から物理学まで、かなりの数の応用分野が開発されました。1900年にルイ・バシュリエはブラウン運動を応用してストックオプションを評価し、金融数学と確率過程の分野を立ち上げました。

エミール・ボレルは1909年にランダム性について正式に議論した最初の数学者の一人で、正規数を導入した。[ 36 ] 1919年にリチャード・フォン・ミーゼスはギャンブルシステムの不可能性を通じてアルゴリズム的ランダム性の最初の定義を与えた。

1940年の論文「ランダム列の概念について」で、アロンゾ・チャーチはフォン・ミーゼスの形式主義における場所設定に使用される関数は、列の最初の部分の任意の関数ではなく計算可能な関数であるべきだと提案し、有効性に関するチャーチ＝チューリングのテーゼを援用した。[ 40 ] [ 41 ]

20世紀初頭の量子力学の出現と1927年のハイゼンベルクの不確定性原理の定式化により、自然の決定性に関する物理学者の間でのニュートン的考え方は終焉を迎えた。量子力学では、多くの観測可能要素が可換ではないため、システム内のすべての観測可能要素を一度にランダム変数として考える方法さえ存在しない。[ 42 ]

1940年代初頭までに、確率に対する頻度理論アプローチはウィーン学派で広く受け入れられていたが、1950年代にカール・ポパーが傾向理論を提唱した。[ 43 ] [ 44 ]頻度アプローチは「コインを一回投げる」ことを扱えず、大きな集団や集団にしか対処できないため、単一ケースの確率は傾向または偶然として扱われた。傾向の概念は、量子力学における単一ケースの確率設定、例えば特定の瞬間の特定の原子の崩壊の確率を扱いたいという欲求によっても推進された。

つづく

つづき

1948年にクロード・シャノンが情報理論を発展させたことで、ランダム性のエントロピー観が生まれた。この観点では、ランダム性は確率過程における決定論の反対である。したがって、確率システムのエントロピーがゼロであればランダム性はなく、エントロピーが増加するとランダム性も増加する。シャノンの定式化は、すべての確率が等しい場合のボルツマンの19世紀のエントロピー定式化をデフォルトとしている。 [ 46 ] [ 47 ]エントロピーは現在、熱力学から量子化学まで、科学のさまざまな分野で広く使用されている。[ 48 ]

偶然性と賭け戦略の研究のためのマルチンゲールは、1930年代にポール・レヴィによって導入され、 1950年代にジョセフ・L・ドゥーブによって形式化されました。 [ 49 ]金融理論におけるランダムウォーク仮説の応用は、 1953年にモーリス・ケンドールによって初めて提案されました。 [ 50 ]その後、ユージン・ファーマとバートン・マルキールによって推進されました。

1961 年、エドワード ローレンツは、気象シミュレーション用のコンピューター プログラムに入力された初期データにわずかな変更を加えると、気象シナリオがまったく異なる結果になる可能性があることに気づきました。これは後にバタフライ効果として知られるようになり、「ブラジルで蝶が羽ばたくと、テキサスで竜巻が発生するか?」という質問に言い換えられることがよくあります。 [ 65 ]予測可能性の重大な実際的限界の重要な例は地質学です。地質学では、地震を個別に、または統計的に予測する能力は、いまだに遠い見通しです。[ 66 ]

1970年代後半から1980年代初頭にかけて、コンピュータ科学者は、計算に意図的にランダム性を導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的なツールになり得ることに気づき始めました。場合によっては、このようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的方法よりも優れたパフォーマンスを発揮します。[ 33 ]
(引用終り)
以上
つづく

つづき
再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1736907570/ スレPart3
>仮に箱が透明であったとしても無数目戦略を忠実に実行すれば同じ結論が得られるが、その場合出題は明らかに定数。よって確率事象は「さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.」以外にはあり得ない。

そこ、いわゆる”ハマリ”だよ
下記 繰返しだが ご参照

1）>>1より 下記の可算無限の実数列の集合 R^N s = (s1，s2，s3 ，・・・)を
　R係数形式的冪級数環F[[x]]の元 f((x))=s1+s2x+s3x^2+・・+sn-1x^(n-2)+snx^(n-1)+・・
　に対応させる。
　しっぽ同値は、ある代表 fr((x))=sr1+sr2x+sr3x^2+・・+srn-1x^(n-2)+snx^(n-1)+・・で
　（しっぽ snx^(n-1)+・・ が一致している）
　差を取る
　 f((x))-fr((x))=s'1+s'2x+s'3x^2+・・+s'n-1x^(n-2)+s'nx^(n-1) =f(x) (n-1次多項式)
　（s'm=sm-srm | m=1,2,・・,n^1）
　と書ける
2）つまり、f((x))=fr((x))+f(x) と表される
　くどいが 形式的冪級数環F[[x]]の元f((x))は、ある代表fr((x))+f(x)(多項式)となり
　即ち 一つの同値類は 代表fr((x))に 都築の意味>>15の多項式環F[x]が加わった構造だということ
3）決定番号とは 多項式f(x)の次数+1にほかならない
　>>15都築にあるように、多項式環F[x]は無限次元線形空間で
　無限次元線形空間からベクトルを(ふつうに)チョイスすれば、当然無限次元
　有限次元ベクトルをチョイスするには、作為が必要で ここで 無作為（=ランダム）が否定され
　確率計算に使えない■

(>>847より再録。>>15もご参照）
１）>>824-827に書いたが、”箱入り” 可算無限の実数列の集合 R^N s = (s1，s2，s3 ，・・・)
　は、R係数形式的冪級数環F[[x]]の元に対応させて
　しっぽ同値は、２つの元の一致するしっぽが消えるから 多項式環F[x]の元に対応する* 　（注*後述）
　そして、都築暢夫で www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf >>802
　無限次元線形空間**になる>>15 (注**：多項式環の無限次元線形空間は、nに上限が無いという意味の可能無限)
２）さて、３次元線形空間で普通にベクトルをとれば、３次元ベクトルであって
　３次元線形空間内では
　２次元ベクトルや１次元ベクトルは 一般に退化していると言われる>>826
３）”箱入り” の決定番号は、無限次元線形空間たる多項式環F[x]の元のf(x)（n次元多項式）
　これは上記２）の退化の視点では、無限次元から有限n次に（無限に）退化したと解せられる
　別の見方をすれば、多項式環F[x]の無限次元線形空間では
　代数学におけるよう 作為でもって 有限n次元ベクトルをチョイスすることは可能だが
　しかし、
　確率に使えるような（無作為での）無限次元線形空間から 有限n次元ベクトルをチョイスすることは不可能■
（決定番号nが 有限ベクトルの次元nに相当する）
　ということ
＜参考＞
注*：
・R係数形式的冪級数環F[[x]]では、一般にx=r(∈R) のような値の代入はできないのだが
　値の代入が可能な場合がある
　いわゆる原点Oで マクローリン展開できる（多項式でない）解析関数
つづき

つづく
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/651
再録
箱入り無数目>>1は、以下の二つの点でまずい
1）選択公理を使っているが、選択公理の選択関数が測度を保証しない
　確率を論じるとき、致命傷。測度が保証されないと 確率論の外（可測性の毀損）
2）決定番号dは、無限次元線形空間内の有限次元だが
　無限次元線形空間には、普通の計量（例えばL^2）が入らない
　計量が入らない空間の有限次元dの大小確率は、測度の裏付けを欠いている■
(引用終り)

（補足）
ここは中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく
１）選択公理の選択関数は、測度を保証しない
　確率論として成り立つためには、測度の保証が必要で 可測関数である必要がある
　しかし、今の場合 選択関数は可測関数ではない
２）>>1にあるように 箱入り無数目は 実数列の集合 R^Nを考えている
　s = (s1，s2，s3 ，・・・) で
　これをベクトルと見ると 例えば有限列で
　s' = (s1，s2，s3 )ならば、３次元空間のベクトル
　ゆえに R^Nは 無限次元線形空間だが
　 例えば 計量でL^2 距離
　Σi=1〜∞ (si)^2 は まずい （∵ siが微小でも 一般に無限和は発散する）
　（蛇足 si→0 に減衰する空間に制限すれば 数学になる 例ヒルベルト空間）
　計量が入らない無限次元線形空間 R^N で 確率計算が出来ないのに
　それを 選択関数を使って 有限次元空間の次元d1,d2,・・,d100に、話をすり替えている■
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/566-567
2026/08/30

>> 548
>>P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
>>hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明
>しかしこれは確率論の専門家の誤認である。実際には箱入りはそのようなものを一切仮定していない。

下記だね
誤認ではない。正しい指摘（＾＾
(参考)
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1609427846/49
箱入り無数目を語る部屋 2021/01/01
20 https://kako.5ch.io/test/read.cgi/math/1466279209(512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8Aと ID:1JE/S25W）

0517
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
時枝解法自体は怪しそう
100列並べた時に99/100ということだけど
まず，各列の独立性が怪しいし，そもそも可測性が成り立つかどうかすら微妙そう

0519
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
>> 518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．

0522
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明
(注：最大番号は決定番号のこと)

0528
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R,B(R))の可測関数である．
もしhが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない

0529
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
>> 528
自己レス
(R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だな

0532
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
>> 530
>2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう

0535
2016/07/03 ID:f9oaWn8A
>> 534
非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな
直感的に1/2とするのは微妙．
むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
直感的にも妥当だろう

つづく

27
つづき

https://kako.5ch.io/test/read.cgi/math/1466279209/542
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
0542１３２人目の素数さん
2016/07/04(月) 00:06:31.30ID:1JE/S25W
時枝氏の主な主張は次の２つだろうだろう
1. 確率論を測度論をベースに展開する必要が無い
2. 無限族の独立性の定義は微妙

しかし1に関していうと時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．
（当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる）
2に関して言うとそもそも時枝氏の勘違い．
時枝氏の考える独立の定義と，現代の確率論の定義は可算族に対しては同値である
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/575
2026/08/30
>専門家って誰？

正確には、私が ”専門家”と呼んだ人 ですね
　>> 566 "20 https://kako.5ch.io/test/read.cgi/math/1466279209(512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8Aと ID:1JE/S25W）"
ご参照

私が ”専門家”と呼んだ理由：
1）>> 567 時枝氏を上から目線で 一刀両断ｗ
2）>> 566
　"P(f(X)=X_{g(X)})=99/100 ということだが，それの証明ってあるかな？"
　"hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明"
　"おれが問題視してるのはの可測性 正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう"
　と彼は宣う
　当時、私は 恥ずかしながら 大学レベルの測度による確率論に あまり詳しくなかったので キョトンｗ（＾＾
　カンニングすると、それはビシビシと石が急所に来ているｗ（囲碁用語）（＾＾

それで、彼を「確率論の専門家さん」と呼ぶことにしたのです
追記
・確率空間(Ω,F,P)は、正確には疑似確率空間です。Ωが発散しているので 下記”P(Ω)=1.”を満たせない
・”hが可測関数か？”は、そもそも測度の定義が与えられていない段階では無意味なのと
　箱入りでは、箱に任意実数r∈Rを入れて良いとしているので、そこから本質的に測度は∞に発散している
　札付きでは、そうではないが(根源事象は1〜6)、一致し始めのn(1)などでは全事象Ωは∞に発散している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
確率の公理
(抜粋)
4. P(Ω)=1.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E5%85%83%E4%BA%8B%E8%B1%A1
根元事象（elementary event）とは、1つだけの結果からなる事象である[1]。原子事象（atomic event）ともいう。集合論の観点では、根元事象は単集合である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
測度論（英: measure theory）は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念（完全加法族、可測関数、積分等）を研究する。ここで測度（そくど、英: measure）とは面積、体積、個数といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。積分の概念は図形の面積や体積と密接に関係しているため、積分（厳密にはルベーグ積分）は測度論を基盤にして定式化および研究される。
また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため（コルモゴロフの公理）、確率論や統計学においても測度論は重要である
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/576
2026/08/30
>札付きが依拠している「対称性」が成立することを証明してみて

うん>>4より
https://imgur.com/1E6b4P9
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 3 P60 251220.jpg
・(可算)無限個のサイコロが振られ隠されている
・２列に並べる
次にサイコロの目の並び{1,2,3,4,5,6}^Nに
有限個の違いを無視する同値関係を入れる
そしてその各同値類について代表元を選んでおく（選択公理により可能）
・１列目のサイコロの目を確認し
それが属する同値類の代表元と
１列目が一致し始めるのがn1個目とする *)
２列目についてその代表元が一致し始めるのが
n2番目とすると、
対称性からn1<n2となる確率は1/2以下
・2列目のn1個目をのぞくサイコロの目を確認し
それが属する同値類の代表元のn1個目の目と
2列目のn1個目のサイコロの目が
一致する確率は1/2以上
（ *)注：ｎ(1)→n1 ｎ(2)→n2 と略記した）
(引用終り)

さて
1）上記”１列目が一致し始めるのがn1個目とする *)”が
　>>1 箱入り無数目の 決定番号
　"sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す"
　と同値であることは すぐ分るだろう
2）箱に実数r∈Rを入れたときは、>>20-21 （都築暢夫 広島大 ）で説明したが
　元の 可算無限列 s = (s1，s2，s3 ，・・・)を 形式的冪級数環F[[x]]の元とみて
　同値類で ある同値類において 代表と それ以外の可算無限列 s'を考えると
　差を取ると 一致しているd以降のシッポは消えて
　s-s'= (s1-S'1，s2-s'2，s3-s'3 ，・・・，sd-1-s'd-1)
　と有限列になる。これを多項式と見る
　つまり、箱入り無数目の同値類の構造は、ある代表の形式的冪級数f((x))∈F[[x]]に対して
　多項式∀f(x)∈F[x]（R係数多項式環）という構造を持つ
　この構造は、代表の形式的冪級数f((x))によらず同一
3）さて、札付きは 1〜6のサイコロの目だが、これを0〜5 つまり 整数のmod6 とみると
　剰余環 Z/6Zと考えることが出来る
　あとの議論は 上記2）と同一で 実数R→Z/6Zに置き換えることができる（トリビアなので詳細略）
　つまり、札付きにおいても 同値類の構造は 各類で同一

ゆえに、「対称性」が成立■

(参考)
https://manabitimes.jp/math/683
高校数学の美しい物語 2021/03/06
合同式(mod)の意味とよく使う６つの性質
合同式(mod)とは
7≡4(mod3)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E7%92%B0
剰余環
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/577
2026/08/30
>箱入りが
>>P(h(Y)>h(Z))=1/2
>を仮定している箇所を記事から抜粋してみて

1）”P(h(Y)>h(Z))=1/2”が、>> 576 "対称性からn1<n2となる確率は1/2以下"と
　同じ意味だということは、理解できるかい？ｗ （＾＾
2）そして、都築暢夫 広島大の 視点
　可算無限列としっぽ同値の関係を 形式的冪級数環と多項式環との関係に置き換えて
　かんがえることができることは説明した
　箱入りが、実数環Rで 札付きが 剰余環 Z/6Zな
　あとは >> 576 を 百回音読してね（＾＾
3）あと >>1 時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最後

ここで 記事の最後のページの左下段で
『Rより一般に，勝手な集合Sの元の無限列S^Nを使
った構成も異曲同工.特に，{O，1]^N を使ってシュレー
ディンガーの猫みたいなお話が紡げる.』
とある。
S＝[1,2,3,4,5,6] とサイコロの目にすれば 札付きになる■
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/615
2026/08/30
ID:ezuEMoAaは、弥勒菩薩さまか
数学オチコボレのおサルさん>>35たち をお救い下さい！！（＾＾

>> 606-607
(引用開始)
設定が誤解されやすいのは確かだが
文章を正しく読めば
出題や同値類の代表の選出は確率事象ではなく
回答者が100列から1列を選ぶことだけが
唯一文中で明記された確率事象である
と分かる
故に似非専門家は文章を読まずに前提を取り違えたと分かる
(引用終り)

ここは中高一貫生も来るから
ハッキリと赤ペン書いておく
＜反証＞
1）まず（私の心に残った数学の本）「私の数学勉強法」西大和学園中学校・高等学校教諭　光永文彦 2016年 https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/88944/
　これ 私も読みました
　その中で、ミニモデルを作って考えるというのがあって 大変印象に残っている（＾＾
2）さて、いま 箱が3つのミニモデルを考えて、ここに札付きと同様に
　サイコロの目を入れるとする
　s1,s2,s3 (si=1〜6)
　しっぽ同値として、s3が一致している同値類を考える
　s3を開ける。s3=1〜6のどれかだ
　しっぽ同値類の2番目をs'2として s'2＝s2の確率1/6 （サイコロの確率の理論通り）
　（箱に入れる数を増やして 1〜m (m＞6)でも同様だが 詳細は略す）
3）一般化して 列の長さL∈N (L≧3)でも同じで 即ち 最後の箱の一致を得て 同値類が決まり
　最後より一つ手前の箱が 一致する代表と一致する確率は1/6 （理論通り）
4）さて L→∞の極限を考えると 札付き 及び 箱入り無数目の列長さと同じになる
　このとき、列のしっぽ部分は無限の彼方であり 有限決定番号dと しっぽ部分との間には 可算無限個の箱がある
　サイコロの目で
　有限決定番号dが得られる確率は lim n→∞ (1/6)^n ＝0 ■
　ゆえに、有限決定番号dが得られる確率は0
5）次に、上記2）で 箱に入れる数を 1〜m (m＞6)の場合
　1/6→1/m となって 任意自然数 m∈Nでは lim m→∞ (1/m) ＝0 となる
　これは mが可算無限の場合
　箱入り無数目では r∈R で連続無限 同じく 確率0■

まとめると
1）列長さL有限で かつ 箱に入れる数 m が有限ならば 札付き乃至箱入り無数目のしっぽ同値による数当ては
　確率の理論値と一致する■
2）一致しないのは、 列長さL→∞の場合
　あるいは 箱に入れる数 m が 無限の場合（念押しだが 箱に入れる数は一様な分布を仮定している）
3）なお、札付きは 列長さL→∞の場合なのでアウト
　箱入り無数目は、列長さL→∞ かつ 箱に入れる数が連続無限で 二重にアウト■
以上
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/623
2026/08/30

1）小話その1
学生1：先生 円周率πに収束する新しい級数を考えました
先生：うん？ ちょっと何項か試算すると 円周率πと合わない。
　符合間違いあるんじゃないか？
学生1：先生 ご指摘の通りで 符合間違いありました
チャンチャン
お後が宜しいようで チャンチャンｗｗ
要するに
ミニモデル>> 615で 少し計算してみると 全く合わない
そこらを、弥勒菩薩さまは 指摘している（＾＾
なんか誤魔化しがあるんじゃないの？とｗ

2）
選択公理の役割は、>>4より
https://imgur.com/njEDHkd
数字であそぼ 第76話 札付きの定理 小学館 絹田村子 4 P62 251220.jpg
(抜粋)
ここでのセリフ：
「選択公理ねぇ・・」
「いやな予感がするなあ」
「というか 変なことが起きる気がしますなあ」
「気がしますねぇ」
『と思うのが数学をやっている人の気持ちである』
（そうなん？）
（この後選択公理の説明へ続く）
という具合に
”数学をやっている人の気持ち”として
”変なことが起きる気がしますなあ”を 惹起して
「変なことが起きても 選択公理ならありえる」という
手品のタネを仕込んでいるわけよｗ

まあ
弥勒菩薩さまくらいの熟達者でないと
数学科のオチコボレの低レベルでは このダマシにコロリだｗ （＾＾；
つづく

つづき
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/660-661
2026/08/31
>（ランダムってのは確率空間の話では？定義も無くてランダムとはね）

素人か（＾＾
下記乱数分かりますか？
乱数も知らずに 箱入り無数目を論じるかね？ｗ

箱入り無数目>>1 において 箱に 下記 乱数列を発生させて入れていく
箱入り無数目で当てられるとすれば、乱数の定義に反する
まさに 盾と矛 矛盾なり！

真の乱数列とは？ 他の数を見ても 当てることはできない！！
他の数を見て 当てることができるならば・・、それは真乱数ではない！！ｗｗｗ

まあ、素人には理解できないだろうね
（この議論は、１０年以上前 箱入り無数目の初期に書いている）

余談
このときに、当時広大の松本眞先生の メルセンヌ ツイスト（下記）
を紹介した

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E3%83%BB%E3%83%84%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%82%BF
メルセンヌ・ツイスタ (Mersenne twister、通称MT) は擬似乱数列生成器 (PRNG) の1つである。従来の疑似乱数列生成手法にある多くの欠点を克服し、高品質の疑似乱数列を高速に生成できるものとして、1996年に松本眞と西村拓士によって国際会議で発表された（1998年1月に論文掲載）。考案者らによる実装が修正BSDライセンスで公開されている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%B1%E6%95%B0%E5%88%97
乱数列（らんすうれつ）とはランダムな数列のこと。 数学的に述べれば、今得られている数列
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} から次の数列の値
{\displaystyle x_{n+1}} が予測できない数列。乱数列の各要素を乱数（らんすう）という。もう少し具体的には、漸化式や関数で定義できない数列を構成する数を乱数ということもできる。
擬似乱数列と真の乱数列
以上のような、確定的な計算により生成される擬似的な乱数列に対して、（十分に[1]）本質的に確率的な自然現象・物理現象を基にして作られる乱数列を「真の乱数」「自然乱数」「物理乱数」などという
つづく