ランダムウォークのスレ

最近この話題が多いので、ご自由にお使い下さい。
テンプレ等は各自でお願いします。

流石、数学板の良心こと「おにぃ」であるw

ハゲは甘え

Mervyn Stoneのパラドックス
The Marginalization Paradox and the Formal Bayes’ Law
arxiv.org/pdf/0708.1350

階数2の自由群F_2のなすケーリーグラフ上をランダムウォークする
参加者が多数いるとする。回答者には、参加者が原点から出発して
ランダムウォークを終えた地点までの経路が簡約語の形で渡される。
F_2の生成元をa,bとするとき、ケーリーグラフ上では
各点から、a,b,a^{-1},b^{-1}の4方向に進むことができ
たとえば、aa^{-1} つまり行って戻るような道のりは
簡約語では消えてしまい、表示されない。
参加者はウォークを終えた地点の直前の位置に宝を埋めている。
回答者はその位置を推定する。
たとえば、回答者が渡されたある参加者の経路を示す簡約語が
「...ab」の場合、
直前が「...a」で最後にb方向に進んだ
直前が「...ab^2」で最後にb^{-1}方向に進んだ
直前が「...aba^{-1}」で最後にa方向に進んだ
直前が「...aba」で最後にa^{-1}方向に進んだ
の4通りがある。

局所的に見れば、この4通りの可能性は平等であるように見える。
そこで回答者1（ベイジアン）は、上記経路「...ab」における
条件付き確率において、上記4ケースの確率をどれも25%と
算出する。そこで、4つの中からランダムに選んだ1つの直前
の位置に宝があると予測する。

回答者2（頻度主義者）は全体像を俯瞰する。
参加者たちがランダムウォークを終える一歩手前の点の集合
をSとする。Sから出ている道は、75%が原点から遠ざかること
に注目する。したがって宝の位置は、原点に近い方、上記例
で言えば「...a」の位置であると予測する。

ゲームを繰り返すと、回答者1の勝率は25%であり、
回答者2の勝率は75%となる。

テンプレ 代わり
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787102338/307
>The Marginalization Paradox and the Formal Bayes’ Law
>arxiv.org/pdf/0708.1350

テンプレは下記か？

(参考)
https://arxiv.org/abs/0708.1350
Statistics Theory
[Submitted on 10 Aug 2007]
The marginalization paradox and the formal Bayes' law
Timothy C. Wallstrom
It has recently been shown that the marginalization paradox (MP) can be resolved by interpreting improper inferences as probability limits. The key to the resolution is that probability limits need not satisfy the formal Bayes' law, which is used in the MP to deduce an inconsistency. In this paper, I explore the differences between probability limits and the more familiar pointwise limits, which do imply the formal Bayes' law, and show how these differences underlie some key differences in the interpretation of the MP.
(google訳)
周辺化のパラドックスと形式的ベイズの法則
周辺化パラドックス（MP）は、不適切な推論を確率限界として解釈することで解決できることが最近示された。解決の鍵は、確率限界は形式的なベイズの定理を満たす必要がないという点にある。形式的なベイズの定理は、MPにおいて矛盾を推論するために用いられる。本稿では、確率限界と、形式的なベイズの定理を満たすより一般的な点ごとの限界との違いを探り、これらの違いがMPの解釈におけるいくつかの重要な相違点の根底にあることを示す。
コメント 2007年7月、ニューヨーク州サラトガ・スプリングスで開催されたMaxent 2007にて発表
主題: 統計理論（math.ST）；確率論（math.PR）

(google検索)
marginalization probability limits
AI による概要
(抜粋)
Marginalization in probability is the process of summing or integrating out unwanted variables from a joint distribution to find the Marginal distribution - Wikipedia of a subset of variables.
Core Definition and Limits (Sums and Integrals)
略す

(参考) 検索
Marginal distribution
Wikipedia
https://en.wikipedia.org › wiki › M...
It gives the probabilities of various values of the variables in the subset without reference to the values of the other variables. This contrasts with a ...

Law of total probability
Wikipedia
https://en.wikipedia.org › wiki › L...
In probability theory, the law (or formula) of total probability is a fundamental rule relating marginal probabilities to conditional probabilities.

Probability concepts explained: Marginalisation
Medium · Jonny Brooks-Bartlett
2200 件以上の高評価 · 8 年前
Marginalisation tells us to just add up some probabilities to get to the desired probabilistic quantity. Once we've calculated our answer (it ...

テンプレ 代わり
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787102338/309
追加

(google検索)
"Mervyn" Stone paradox probability wiki

＜結果＞
Safe Probability
arXiv
https://arxiv.org › pdf
PDF
P Grünwald 著 · 2016 · 被引用数: 58 — A Philip Dawid and Mervyn Stone. The functional-model basis of fiducial inference. The. Annals of Statistics, pages 1054–1067, 1982. 30. Page ...

https://www.researchgate.net/publication/301880607_Safe_Probability
researchgate.net
ArticlePDF Available
Safe Probability
April 2016Journal of Statistical Planning and Inference 195(2)
DOI:10.1016/j.jspi.2017.09.014
Authors:
Peter Daniel Grünwald
Centrum Wiskunde & Informatica

Bayesian measures of model complexity and fit
Wiley & Sons
https://rss.onlinelibrary.wiley.com › ...
2002/10/23 — I am not suggesting that the use of DIC is wrong, but a formal derivation is lacking. Mervyn Stone ( University College London ). The paper ...

When did Bayesian inference become " ...
SciSpace
https://scispace.com › pdf
PDF
notes that Bayes' definition of probability is subjective, and Aldrich (online Wikipedia ... Mervyn Stone. (as a visitor) , Irwin Guttman ... “A Statistical Paradox ...

grammar induction and parsing with dependency-and ...
Stanford NLP Group
https://nlp.stanford.edu › pubs › SpitkovskyThesis
PDF
VI Spitkovsky 著 · 2013 · 被引用数: 14 — [314] Mervyn Stone. Cross-validatory choice and assessment of statistical predictions. Journal of the Royal Statistical Society. Series B, 36, 1974. [315] ...
242 ページ

テンプレ 代わり
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787102338/310
追加の追加

>1次元の場合はそれができたが
>2次元以上だとどうすれば良いのか

下記
1次元と2次元は、あまり変わらないように書いて有るけど？（＾＾

(google検索)
高次元 ランダムウォーク wiki
AI による概要
高次元のランダムウォーク（酔歩）における最大の特質は、1〜2次元とは異なり、出発点（原点）に再び戻ってくる確率が1未満（非再帰的・過渡的）になることです。
詳細な解説や全体像については、Wikipediaのランダムウォーク記事をご参照ください。
高次元ランダムウォークの性質
・ポリアの定理:
1次元および2次元の単純ランダムウォークは確率1で出発点に戻る（再帰的）のに対し、3次元以上の高次元では確率1未満でしか戻らない（非再帰的・過渡的）ことが知られています。
・原点への回帰確率:
　・1次元: 100%（確実に戻る）
　・2次元: 100%（確実に戻る）
　・3次元: 約34%
　・4次元: 約19%
・直感的な理由:
次元が増えると移動できる方向（選択肢）が爆発的に増えるため、空間の広がりに対して戻る確率（遭遇する確率）が急速に小さくなり、無限の彼方へ逃げやすくなります。

高次元ランダムウォークの数学的証明（極限分布や確率漸化式）や、物理・情報科学への応用例について詳しく知りたいですか？

(参考)
ランダムウォーク
Wikipedia
https://ja.wikipedia.org › wiki › ランダムウォーク
ランダムウォーク（英: random walk）は、次の値が「今の値 + 確率的な値」となる離散時間確率過程である。 酔歩 （ すいほ ）、 乱歩 （ らんぽ ）とも。

ランダム・ウォーク理論
Wikipedia
https://ja.wikipedia.org › wiki › ランダム・ウォーク理論
ランダム・ウォーク理論 (ランダム・ウォークりろん、英: Random Walk Theory) とは、株価の値動きについての「予測の不可能性」を説明する理論。相場の値動きを論じた ...

つづく

テンプレ 代わり
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787102338/311
つづき

確率過程とランダムウォーク - 知識のサラダボウル
知識のサラダボウル
jimdofree.com › 2018/05/02 › 確率過...
2018/05/02 — ランダムウォークの高次元への拡張. さきほどの1次元のランダムウォークを2次元平面上に拡張すると、次のようになります。 初期化 実行 一時停止. 3次元 ...

問題意識と具体的な研究対象
九大数理学研究院
www2.math.kyushu-u.ac.jp › topics_inbrief-j
2001/04/09 — このモデルの連続極限はランダムウォークなどとは 全く異なるものである． 高次元では Integrated super-Brownian Excursion (ISE)と 呼ばれる 確率 ...

第35回-熊谷氏 大阪科学賞
大阪科学賞
osaka-prize.ostec.or.jp › ...
はじめに、正方格子上のランダムウォークと、そのスケール極限で現れるブラウン運動について説明しましょう。ある点にいる粒子が1秒後に等確率で隣の点に動く時、このよう ...

なぜ数千次元でも状態を見分けられるのか
toorPIA
www.toor.jpn.com › technology
時系列構造の高忠実な保存：8本のランダムウォークを8. 公開ベンチマークより：8本のランダムウォーク（各500ステップ、色は時間の進行）を各手法で2次元に射影した結果
(引用終り)
以上

テンプレ 代わり
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787102338/262
さらに追加

下記で、箱入り無数目 スレ https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786586164/
を語っているが
いまいち理解できなかった
（箱入り無数目 自身は、ランダムウォークではないから）

暇ができたら書いておくれ （＾＾

(参考)
>この例は俺が箱入り無数目で
>ひとつひとつは確率0なのに条件付き確率は有限
>みたいな状況を上手く表現できるんじゃ無いかと思ってるのの
>よい例示になってるかも知れないなと思えてきた

>IUTの望月さんの主張も
>もしかしたら
>この回答者２の考察のようなものなのかも？
>何かしら全く新しい概念を
>自分の中だけで「納得」していて
>それを「説明できない」みたいな？

ふーん、ご苦労さまです
天下のチラシの裏 5ｃｈ
まあ、がんばって

”箱入り無数目で
ひとつひとつは確率0なのに条件付き確率は有限”
は、面白い視点だと思うよ
但し、”条件付き”の条件を 数学として明示しないと ちょっと曖昧

”自分の中だけで「納得」していて
それを「説明できない」みたいな？”
は、下記の梅村先生の最終講義 に類似例がある

(参考)
https://ocw.nagoya-u.jp/farewell/0100-%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%A5%B5%E9%99%90/
射影極限と帰納極限
farewell
2007年度 退職記念講義
講師 梅村浩 教授
講義資料
https://ocw.nagoya-u.jp/files/100/umemura_lect.pdf
P25
最初の印象 でたらめの論文に思えた． クリスマスが終わる頃には少しづつ分かり始めた 年が明けると Painlevé 自身がよくっ分かっていることが理解できるようになった．

ただ自分の発見を表現する言語を持っていないだけであると． 夏までにPainlevéのアイディアを現代 代数幾何学の言葉で表現することに成功した. その夏にストラスブールで微分方程式の 日仏シンポジュウムがあり，そこで発表した．

w∈W(e)aW(e)
に対して
wc∈W(e)
であり
wc∈W(e)
なら
f(wc)=f(w)f(c)=f(w)c=e
より
f(w)=a
則ち
w∈W(a)=W(e)aW(e)
よって
W(e)aW(e)={w∈W:wc∈W(e)}

同様に
w∈W(e)aW(e)aW(e)
なら
wcc∈W(e)
であり
wcc∈W(e)
なら
f(w)=aa
より
W∈W(aa)=W(e)aW(e)aW(e)
よって
W(e)aW(e)aW(e)={w∈W:wcc∈W(e)}

W[c]={wc∈W(e)}
と書くとすると
W(e)¥W0=W[a]+W[b]+W[c]+W[d]
で
|W[a]2n|=|W[b]2n|=|W[c]2n|=|W[d]2n|=|W(e)2n|/4
同様に
W[cc]={wcc∈W(e)}
と書くとすると
W(e)¥W0=W[aa]+…W[dd]
で
|W[aa]2n|=…=|W[dd]2n|=|W(e)2n|/16

|(W(e)aW(e)a)2n|=|(W(e)aW(e))2n-1|=|W[c]2n|=|W(e)2n|/4
|(W(e)aW(e)aW(e))2n|=|W[cc]2(n+1)|=|W(e)2(n+1)|/16
Q(W(a)a)=Σ|(W(e)aW(e)a)2n|p^2n=Σ|W(e)2n|p^2n/4
Q(W(aa))=Σ|(W(e)aW(e)aW(e))2n|p^2n=Σ|W(e)2(n+1)|p^2n/16=Σ|W(e)2n|p^2(n-1)/16
Q(W(a)a)/Q(W(aa))=1/4p^2
あれれ？
p→1
の極限は
1/4=25％
だな
それと
p→0
の極限が∞はどこかがおかしいことを意味しているな
もうちょっと考えるか

>Σ|W(e)2(n+1)|p^2n/16=Σ|W(e)2n|p^2(n-1)/16
左辺はn≧1だから
右辺はn≧2か
Q(W(a)a)=Σ|W(e)2n|p^2n/4
の右辺はn≧1だからズレてるか
Q(W(aa))=4p^2Q(W(a)a)-Q(W(e)2)/16
ここで
W(e)2={ac,bd,ca,db}
なので
Q(W(e)2)=4p^2
よって
Q(W(a)a)/Q(W(aa))=4/p^2(16-1/Q(W(a)a)))
か
Q(W(a)a)=Σ|W(e)2n|p^2n/4
を具体的に求める必要があるのか

>p→0
>の極限
pがドンドン小さくなると
ランダムウォークはすぐ止まるようになるから
W(aa)のうちW(a)aであるものはほとんど1になるはずつまり
P(W(a)a)/P(W(aa))=Q(W(a)a)/Q(W(aa))→1
でなくてはおかしい
さすがに条件付き確率であっても1を超えるのは話がおかし

>|(W(e)aW(e)aW(e))2n|=|W[cc]2(n+1)|=|W(e)2(n+1)|/16
ここ違うかも
W(e)aW(e)aW(e)=W[cc]={w∈W:wcc∈W(e)}
aa,ab,ad
ba,bb,bc
cb,cc,cd
da,dc,dd
はお互い移りあうから同数は良い
ac,bd,ca,db
もお互い同数
しかし
aaとacは同数だろうか？

>aa,ab,ad
>ba,bb,bc
>cb,cc,cd
>da,dc,dd
>はお互い移りあうから同数は良い
これもどうかな
aa,bb,cc,ddは同数と
ab,ad,ba,bc,cb,cd,da,dcは同数は言えるが
結局
aa,ab,acを別々に考えた方がよさげ

W[ac]={w∈W:wac∈W(e)}=W(e)
W[ab]={w∈W:wab∈W(e)}=W(dc)=W(e)dW(e)cW(e)
W[aa]={w∈W:waa∈W(e)}=W(cc)=W(e)cW(e)cW(e)

そもそも可算無限にたくさんある事象について「全部対称性でおなじ」にできるわけがない。「確率の極限」はできても「極限とって対称性で全部同じな確率」が定義できるわけじゃない。難しいんじゃなくて原理的に不可能

なぜ回答者2が圧倒的に勝つのか？自由群 \(F_{2}\) のケーリーグラフは、すべての頂点から4本の枝が出ている「無限の4正則樹形図（ツリー）」です。この空間には以下の決定的な特徴があります。空間が指数関数的に広がる: 原点から距離 \(n\) にある頂点の数は \(4 \times 3^{n-1}\) 個あり、歩を進めるほど選択肢（外側への道）が爆発的に増えます。「戻る」道は常に1本だけ: どの頂点に立っていても、原点に向かって近づく道（内側への道）は必ず1本しかありません。残りの3本はすべて原点から遠ざかる道です。参加者がランダムウォークをしている最中、直前の位置から「外側（遠ざかる方向）」へ進む確率は常に 75%（4分の3） であり、「内側（近づく方向）」へ戻る確率は 25%（4分の1） です。そのため、最終的な到着点が「...ab」であるならば、確率的にその一歩手前は、高確率（75%）で内側の「...a」にいたことになります。回答者2はこの大域的な流束（流れ）の偏りを正しく見抜いています。

やっぱなんだか
|W(ab)2n|=|W(aa)|
のような気がしてきたが
どう説明付けるかな

w∈W(aa)=W(e)aW(e)aW(e)
に対して
{(p,q,r):w=paqar}
の最短の|p|であるものが決まるから
qarをa→b→c→d→aの置換σで入れ替えて
q^σ=q',r^σ=r'∈W(e)
なので
W(aa)∋w=paqar→w'=paq'br'∈W(ab)
は単射
w'∈W(ab)=W(e)aW(e)bW(e)
に対して
{(p',q',r'):w'=p'aq'br'}
の最短の|p'|であるものに対して
q^σ=q',r^σ=r'
で
W(ab)∋w'=p'aq'br'→w=p'aqar∈W(aa)
も単射
よって
|W(aa)2n|=|W(ab)2n|
あれ？
でもそれなら
|W(aa)2n|=|W(ac)2n|=|W[ac]2n|=|W(e)2(n-1)|
でもあるかな？
何か変だな

>|W(ac)2n|=|W[ac]2n|
ここが違うか
W(ac)=W(e)aW(e)cW(e)⊂≠W(e)
だわな
aa,bb,cc,dd
を
ab,ad,ba,bc,cb,cd,da,dc
と区別する必要は無いわけだ

F_2のケーリーグラフの対称性とマルコフ性を使うと、abを原点eに移して
考えることができる。停止確率をpとすると、どのウォークの発生確率にも
pが乗ぜられるので、発生確率の比だけを考えればいい。まず最初に停止で
e（空ウォーク）が発生している。あとは、旅をして原点に戻ってきて停止
するウォークがある。両者をまとめてすべて計算すると、p→0の極限で
空ウォークの発生確率の3/2倍になるようだ。つまり、空ウォーク自体に
比べて50%増える。1が空ウォークで、1/2が旅をして戻って来るウォーク。
1/2は等方向から来るはずなので、1/8ずつ4方向からになる。
空ウォーク+1方向の和が 1+1/8=9/8, 残り3方向の和が3/8.
比を見ると3:1。したがって、最初の問題>>61に戻ると、やはり
原点方向からが75%、残り3方向からが合わせて25%という結論になると思う。

適切に読めば、数え上げで75%を出す話は、>>196で終わっている。
「簡単のため原点に移して考える」というのが分かりにくかったのなら
「まず最初に停止で空ウォーク」を、「abへの初到達ウォーク」
「旅をして原点に戻ってきて停止するウォーク」を「初到達後、
周回してから再度abに戻って来るウォーク」と読み替えて下さい。
原点からabに到達する任意のウォークwは、abへの初到達ウォークをw_0,
周回して再び戻って来るウォークをw_1として、w=w_0+w_1 と分解する。
まず、w_0は必ず原点方向から来るに注意しよう。これは原点を
出発点とすることと、グラフの木構造からの帰結である。
これの重みを1とする。すべてのw_1を数え上げた上での重みは、
>>207に書いた数え上げ公式で計算できる。回帰ウォークの数え上げ公式
W(z)=3/(1+2√(1-12z^2)) において、z=(1-p)/4を代入した上で
1を引いた値（これは空ウォークも公式に含まれているため）になる。
この値は、p→0の極限で1/2になる。よって周回回帰ウォークの重みは1/2となる。
あとは>>196に書いた理屈で、原点方向からabに到達したウォークの
重みは9/8, 他方向からが3/8となる。比を見ると、3:1.
したがって、原点方向からabに到達した確率は75%となる。
どうしてもabへの初到達ウォークw_0の全体を数え上げたいと言うなら
その手段はあるが、75%という数字を出すことには本来不要である。

>Q(W(aa))
W(aa)=W[cc]
つまり
W(e)のうちccで終わるものからそのccを取り去ったウォークの全体
そもそもW(e)の元となるウォークはn→∞でかなり起こりにくくなる
W(e)0={e}
W(e)2={ac,bd,ca,db}
W(e)4={aacc,abdc,acac,acbd,acca,acdb,adbc,…}
W(e)6={aaaccc,aabdcc,aacacc,…}
W(aa)={aa,aaac,aabd,aaca,…}
Q(W(aa))=(p/4)^2+10(p/4)^4+…＞(p/4)^2(1+10(p/4)^2)
p→1
で
limQ(W(aa))＞13/128
limQ(W(a)a)/Q(W(aa))＜167/156
・・・何の意味も無いか

結局何がどうだというんだ？

あげ

<テンプレ>
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%A0%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%82%AF
ランダムウォーク（英: random walk）は、次の値が「今の値 + 確率的な値」となる離散時間確率過程である[1]。酔歩（すいほ）[1]、乱歩（らんぽ）[2]とも。

グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、この時の運動の様子は一見して不規則なものになる。ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス[3][4]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

定義
確率過程の状態空間が実数空間であるものを扱う[5]。

二段階の確率過程による定義
{R} ^{d} を
d 次元実数空間、
(Xn)n∈T, (Sn)n∈T を
Rd が状態空間の確率過程とする。これらが次の条件、
添字集合
T が高々可算な全順序集合
(Xn)n∈T
の各項が独立同分布に従う
Sn=婆nXk
を満たすとき、
(Sn)n∈T は実数状態空間におけるランダムウォークである。
すなわち、実数状態空間でのランダムウォークは、各時刻が状態空間
Rd の独立同分布に従う離散時間確率過程
(Xn)n∈Tをベースとして「ベース過程の時刻
n までの総和」を時刻
n の確率要素
Snとする離散時間確率過程
(Sn)n∈T である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
Random walk
In mathematics, a random walk is a stochastic process that describes a path that consists of a succession of random steps on some mathematical space.
Other examples include the path traced by a molecule as it travels in a liquid or a gas (see Brownian motion), the search path of a foraging animal, or the price of a fluctuating stock and the financial status of a gambler. Random walks have applications to engineering and many scientific fields including ecology, psychology, computer science, physics, chemistry, biology, economics, and sociology. The term random walk was first introduced by Karl Pearson in 1905.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion
Brownian motion
Then, in 1905, theoretical physicist Albert Einstein published a paper in which he modelled the motion of the pollen particles as being moved by individual water molecules, making one of his first major scientific contributions.[4]
This explanation of Brownian motion served as convincing evidence that atoms and molecules exist and was further verified experimentally by Jean Perrin in 1908. Perrin was awarded the Nobel Prize in Physics in 1926 "for his work on the discontinuous structure of matter".[5]

>>30 追加

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
2013年度前期 確率論基礎
Ｐ47
第4章 ランダム・ウォーク

>>30-31 追加

　でな >>5 より
"そこで回答者1（ベイジアン）は、上記経路「...ab」における
条件付き確率において、上記4ケースの確率をどれも25%と
算出する。そこで、4つの中からランダムに選んだ1つの直前
の位置に宝があると予測する。
回答者2（頻度主義者）は全体像を俯瞰する。
参加者たちがランダムウォークを終える一歩手前の点の集合
をSとする。Sから出ている道は、75%が原点から遠ざかること
に注目する。したがって宝の位置は、原点に近い方、上記例
で言えば「...a」の位置であると予測する。
ゲームを繰り返すと、回答者1の勝率は25%であり、
回答者2の勝率は75%となる。"

さて、ここで
1）”頻度主義者”の定義が 不明確だが
　30-31に示した ランダムウォーク理論に基づくとすれば
　このランダムウォーク理論は、数学としては すでに確立された理論であって
　歴史的には、Albert Einstein 1905や The term random walk was first introduced by Karl Pearson in 1905 から数えて120年以上かけて 発展検証されてきた理論だ
2）で 上記の”回答者1（ベイジアン）”？
　さあｗ 寡聞にして キチンと認識していないが
　回答者1（ベイジアン）vs 回答者2（頻度主義者）(これが数学で確立された ランダムウォーク理論に基づくとすれば)
　この両者を対等に扱うことは なんかヘンｗ　（＾＾

”階数2の自由群F_2のなすケーリーグラフ上をランダムウォークする”
という設定が特殊なのかも知れないがね
ならば、その特殊性をきっちり明示して 論じないと おかしいぜｗ

ともかく、回答者2（頻度主義者）(これが数学で確立された ランダムウォーク理論に基づくとすれば)
これは、120年以上かけて 発展検証されてきたランダムウォーク理論があるので
すでに確立されたランダムウォーク理論に疑義を唱えることが ヘン
（従来のランダムウォーク理論を包含する新理論を考えるのは良い）
もし 前記”ケーリーグラフ上をランダムウォーク”が、従来のランダムウォーク理論では 扱えないというならば
それはなぜか？ を明確にすることが先だろう

cn=|W(e)2n|
の漸化式が分かればな
W[aa],…,W[dd]
の中で
ac,bd,ca,db
の4つ以外は同等
この4つはW(e)の元

おそらく
W[cc]={w∈W:wcc∈W(e)}=W(aa)=W(e)aW(e)aW(e)
|W(e)2(n+1)|=12|W(aa)2n|+4|W(e)2n|（n≧0）
|W(e)0|=1
で
|W(aa)2n|
をさらに何かしら漸化式で表せるので無いか

W(e)=ΣV(e)^n
W0=V(e)^0={e}
v∈V(e)∩aW
v=aw
f(v)=e=af(w)
f(w)=c
w∈W(c)=W(e)cW(e)
v∈V(e)∩aW(e)cW(e)
v∈aW(e)c
V[c]=V(e)∩aW(e)c
V(e)=V[a]+V[b]+V[c]+V[d]
v∈V[c]=V(e)∩aΣV(e)^nc
v=av1…vnc
うーん

ダボハゼ爺だった（爆笑）

IUTスレのキチガイ朝鮮人か

V(e)の元は
awc
bwd
cwa
dwb
の4つの形式のどれか
ここで
w∈W(e)
だがW(e)の元何でも良いわけでは無いから
漸化式に使うにはキビシイ
難しいなあ

ダボハゼ爺とは大学数学質問スレの住人で、どんな質問にも飛びつく爺。
回答を頻繁に間違えて、あっ間違えたというのが口癖

質問乞食ｗ

V(e)を数え上げるには
V[c]={awc∈V(e)}
を数え上げればいい
w∈W(e)=ΣV(e)^n
なので
av1…vnc
を数え上げるのだが
n=0のときはacのみ
n=1のときは
v1∈V[b]+V[c]+V[d]
（v1∈V[a]ならv1=cwaよりav1c=acwacとなりこれはV(e)の元ではない）
・・・・・・・・キリがないな

W(e)の元は
たとえば
abcdbadc
に対して原点からの到達距離（道程）を
0a1b2c3d4b3a2d1c0
と表してやれば
あーだめだな
でもいずれにせよ
W(e)の元を
ツリーと見ることが数え上げには必要かもね

https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process#History
Stochastic process
(google訳)
確率過程
(抜粋)
確率過程は、その数学的性質に基づいて、ランダムウォーク[ 31 ] 、マルチンゲール[ 32 ] 、マルコフ過程[ 33 ] 、レヴィ過程[ 34 ] 、ガウス過程[ 35 ]、ランダム場[ 36 ] 、再生過程、分岐過程[ 37 ]など、さまざまなカテゴリに分類できます。確率過程の研究には、確率、微積分、線形代数、集合論、位相幾何学[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]の数学的知識と手法、および実解析、測度論、フーリエ解析、関数解析などの数学的解析の分野 [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]が用いられます。確率過程の理論は、数学への重要な貢献であると考えられており[ 44 ] 、理論的な理由と応用の両方から、活発な研究テーマであり続けています。[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]

Further examples
Markov processes and chains
Markov processes form an important class of stochastic processes and have applications in many areas.[39][202] For example, they are the basis for a general stochastic simulation method known as Markov chain Monte Carlo, which is used for simulating random objects with specific probability distributions, and has found application in Bayesian statistics.[203][204]
マルコフ過程は重要な確率過程のクラスを形成し、多くの分野で応用されています。[ 39 ] [ 202 ]例えば、マルコフ過程は、特定の確率分布を持つランダムなオブジェクトをシミュレートするために使用されるマルコフ連鎖モンテカルロ法として知られる一般的な確率シミュレーション方法の基礎となっており、ベイズ統計学で応用されています。[ 203 ] [ 204 ]

つづく

つづき

歴史
統計力学
気体の運動論と統計物理学は19世紀後半に発展を続け、主にクラウジウス、ルートヴィヒ・ボルツマン、ジョサイア・ギブスらの研究によって、後にアルバート・アインシュタインのブラウン運動の数学的モデルに影響を与えることになった。[ 256 ]

測度論と確率論
1900年にパリで開催された国際数学者会議で、ダフィット・ヒルベルトは数学の問題リストを発表し、その6番目の問題で公理を含む物理学と確率の数学的扱いを求めた。[ 248 ] 20世紀初頭頃、数学者たちは数学関数の積分を研究する数学の一分野である測度論を発展させ、その創始者の2人はフランスの数学者アンリ・ルベーグとエミール・ボレルであった。1925年、別のフランスの数学者ポール・レヴィは、測度論の考え方を用いた最初の確率論の本を出版した。[ 248 ]

1920年代、ソビエト連邦では、セルゲイ・ベルンシュタイン、アレクサンドル・ヒンチン[ g ]、アンドレイ・コルモゴロフ[ 251 ]などの数学者によって確率論への基礎的な貢献がなされた。コルモゴロフは1929年に、測度論に基づく確率論の数学的基礎を提示する最初の試みを発表した[ 257 ] 。 1930年代初頭、ヒンチンとコルモゴロフは、エフゲニー・スルツキーやニコライ・スミルノフ[ 258 ]などの研究者が参加する確率セミナーを設立し、ヒンチンは実数直線でインデックス付けされた確率変数の集合として確率過程の最初の数学的定義を与えた[ 63 ] [ 259 ] [ h ] 。

現代確率論の誕生
1933年、アンドレイ・コルモゴロフは、確率論の基礎に関する著書『Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung』[ i ]をドイツ語で出版した。この本の中でコルモゴロフは測度論を用いて確率論の公理的枠組みを構築した。この本の出版は、確率論と確率過程の理論が数学の一部となった、現代確率論の誕生と広く考えられている。[ 248 ] [ 251 ]

第二次世界大戦後の確率過程
第二次世界大戦後、確率論と確率過程の研究は数学者からより注目を集め、確率と数学の多くの分野で重要な貢献がなされ、新しい分野も創出された。[ 251 ] [ 264 ] 1940年代から、伊藤清はウィーナー運動またはブラウン運動過程に基づく確率積分と確率微分方程式を含む確率微分積分の分野を発展させた論文を発表した。[ 265 ]

ヴァラダンは2007年のアーベル賞を受賞するに至った。[ 271 ] 1990年代と2000年代には、シュラム・レーヴナー進化理論[ 272 ]とラフパス理論[ 142 ]が導入され、確率論における確率過程やその他の数学的対象を研究するために発展し、それぞれ2008年にウェンデリン・ヴェルナー[ 273 ] 、 2014年にマーティン・ヘアラー[ 274 ]にフィールズ賞が授与されました。

マルコフ過程
マルコフ過程とマルコフ連鎖は、20 世紀初頭にマルコフ連鎖を研究したアンドレイ・マルコフにちなんで名付けられました。

https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_statistics
Bayesian statistics
(google訳)
ベイズ統計学
略
(引用終り)
以上

>>44
>https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_statistics
>Bayesian statistics
>(google訳)
>ベイズ統計学

ja.wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6
ベイズ統計学
(抜粋)
ベイズ統計学という名称は、1763年に発表された論文（英語版）においてベイズの理論の特殊な場合を定式化したトーマス・ベイズに因む。18世紀末から19世紀初頭にわたるいくつかの論文において、ピエール＝シモン・ラプラスは確率のベイズ的解釈を発展させた。ラプラスは、数多くの統計問題を解くためにベイズ的手法と現在は見なされるであろう手法を用いた。多くのベイズ的手法は後の執筆者らによって発展されたが、この用語は1950年代までこういった手法を言い表すためには一般的に用いれらなかった。20世紀の大半、ベイズ的手法は哲学的および実践的判断により多くの統計学者によって好まれなかった。多くのベイズ的手法は完了するのに多くの計算を必要とし、20世紀に広く用いられたほとんどの手法は頻度主義的解釈に基づいていた。しかしながら、強力な計算機とマルコフ連鎖モンテカルロ法のような新たなアルゴリズムの出現によって、ベイズ的手法は21世紀に入り統計学内において利用の増加が見られてきている

統計グラフィックス
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E9%80%A3%E9%8E%96%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AD%E6%B3%95
マルコフ連鎖モンテカルロ法（Markov chain Monte Carlo methods、通称MCMC）とは、求める確率分布を均衡分布として持つマルコフ連鎖を作成することによって確率分布のサンプリングを行う種々のアルゴリズムの総称である

このアルゴリズムの最も一般的な応用は多重積分を数値的に計算することである。ランダムに歩き回る粒子の集団を想定し、粒子が点を通過するたびに、その点の被積分関数の値を積分に加算する。粒子は次に積分への貢献が高い所を探して複数の仮の動作をする。このような方法はランダムウォーク法とよばれ、これは乱数的なシミュレーションつまりモンテカルロ法の一種である。従来のモンテカルロ法で用いられる被積分関数のランダムな標本が独立であるのに対して、MCMCで用いられる標本は相関がある。被積分関数を均衡分布に持つようなマルコフ連鎖を作成する必要があるが、多くの場合において容易に行うことができる

多重積分はベイズ統計学、計算物理学、計算生物学などにしばしば現れるため、そのような分野でMCMCが広く使われている

次元の変化
リバーシブルジャンプ法（英語版）はメトロポリス・ヘイスティングス法の拡張で、次元の異なる空間からの候補を許容する。この手法は1995年にブリストル大学のピーター・グリーン（Peter Green）によって考案された[6]。次元の変化する MCMC は分布が大正準集団である問題（箱の中の分子の数が変動する場合など）を解くのに統計力学の分野で長い間使われている

ツリーを分類するには
いちばん長い枝に着目するのかな
ううん
でも
acac
は
acの先にcaを伸ばしたとも
acの根元にacを継いだとも見なせるな
どうすれば確実に表せるのかな

江戸川乱歩

ポー

>>45 追加

en.wikipediaが、詳しい
https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo
Markov chain Monte Carlo
In statistics, Markov chain Monte Carlo (MCMC) is a class of algorithms used to draw samples from a probability distribution. Given a probability distribution, one can construct a Markov chain whose elements' distribution approximates it, i.e. the Markov chain's equilibrium distribution matches the target distribution. The more steps that are included, the more closely the distribution of the sample matches the actual desired distribution.
(google訳)
マルコフ連鎖モンテカルロ法は、解析的手法だけでは複雑すぎたり次元が高すぎたりする確率分布を研究するために用いられる。このようなマルコフ連鎖を構築するためのアルゴリズムは数多く存在し、メトロポリス・ヘイスティングス法もその一つである。

歴史
MCMC法の開発は、20世紀半ば、特に物理学におけるモンテカルロ（MC）法の初期の探求に深く根ざしている。これらの発展は、1953年にニコラス・メトロポリス、アリアナ・W・ローゼンブルース、マーシャル・ローゼンブルース、オーガスタ・H・テラー、エドワード・テラーによって提案されたメトロポリスアルゴリズムによって特徴づけられ、これは初期のコンピュータを使用して高次元積分問題に取り組むために設計された。
その後、1970年にWK・ヘイスティングスはこのアルゴリズムを一般化し、意図せずして成分ごとの更新というアイデアを導入した。これは後にギブスサンプリングとして知られるようになった。
同時に、ジュリアン・ベサグの1974年の論文にあるハマーズリー・クリフォードの定理など、ギブスサンプリングの理論的基礎が開発されていた。
MCMCの種は、スチュアート・ゲーマンとドナルド・ゲーマンによる画像処理におけるギブスサンプリングの正式な命名（1984年）や、マーティン・A・タナーとウィング・ハン・ウォンによるデータ拡張法（1987年）など、それ以前に蒔かれていたものの、主流統計学におけるMCMCの「革命」は、計算能力の向上とBUGSのようなソフトウェアによって促進された、複雑な統計的問題（特にベイズ的問題）に対するサンプリング法（特にギブスサンプリング）の普遍性と実装の容易さの実証に大きく起因していた。
この変革は、ルーク・ティアニー（1994年）によるMCMC収束の厳密な扱いや、ジュン・S・リウ、ウォン、オーガスティン・コン（1994年、1995年）によるギブスサンプラー構造の分析など、重要な理論的進歩を伴っていた。
その後の発展により、MCMCツールキットはさらに拡張され、逐次問題のための粒子フィルタ（逐次モンテカルロ法）、正確なシミュレーションを目指す完全サンプリング（ジム・プロップとデビッド・B・ウィルソン、1996年）、可変次元モデルを扱うためのRJMCMC（ピーター・J・グリーン、1995年）、収束診断と中心極限定理に関するより詳細な研究などが含まれるようになった。全体として、MCMCの進化は統計計算におけるパラダイムシフトを表しており、これまで扱いが困難だった多数の複雑なモデルの分析を可能にし、統計学の範囲と影響を継続的に拡大している。[ 1 ]

数学的設定

自己回避あげ

（彼の人はまだ可算選択公理を誤解してるね）

ランダムウォークなんもわかってない知的障害IUT朝鮮人のスレw

質問乞食爺の隔離スレだよｗ

最後の枝（ac,bd,ca,db）は決まるかな？
それを刈ると2短くなるが
2短いw'のどこにその最後の枝を付けられるか？
うーん
枝を付けられるポイントで分類？

acの原点にacを付けるとその付けたacが最後の枝
acの(1,0)にcaを付けるとその付けたcaは最後の枝にならないが
ca以外のac,bd,dbなら最後の枝になる
難しいなあ

（あまちがえた）

>>56
ご苦労さまです

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E9%80%A3%E9%8E%96
マルコフ連鎖
マルコフ連鎖（マルコフれんさ、（英: Markov chain）は状態空間が高々可算集合なマルコフ過程である[1]。すなわち、取りうる状態が離散的かつ未来の状態が過去の状態履歴に影響されない確率過程である。マルコフ鎖（マルコフさ）とも。
概要
マルコフ連鎖とは、確率過程の一種であるマルコフ過程のうち、とりうる状態が離散的（有限または可算）なものをいう（⇒ #定義）。すなわち離散状態マルコフ過程を指す。
マルコフ連鎖は、未来の挙動が現在の値だけで決定され、過去の挙動と無関係である（マルコフ性）。各時刻において起こる状態変化（遷移または推移）に関して、マルコフ連鎖は遷移確率が過去の状態によらず、現在の状態のみによる系列である。特に重要な確率過程として、様々な分野に応用される。

マルコフ連鎖の一例に有限状態機械がある。これは、時刻n において状態 y にあるとすると、それが時刻n + 1 において状態x に動く確率は、現在の状態にだけ依存し、時刻n には依存しない。
定義
略

https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain
Markov chain

https://medium.com/akkadia/a-brief-history-of-markov-chains-2219602d4615
A Brief History of Markov Chains
Gokul B Alex
Dec 30, 2024

https://www.americanscientist.org/article/first-links-in-the-markov-chain
americanscientist.org
First Links in the Markov Chain
By Brian Hayes
Probability and poetry were unlikely partners in the creation of a computational tool
Computer Mathematics Statistics

https://arxiv.org/pdf/0808.2902
Statistical Science 2011, Vol. 26, No. 1, 102–115 DOI: 10.1214/10-STS351 c ⃝Institute of Mathematical Statistics, 2011
A Short History of Markov Chain Monte Carlo: Subjective Recollections from Incomplete Data1 Christian Robert and George Casella

>>56
(ですね人)だったか
わからなかったな

で、病気か？
むかし、”おっちゃん”が、オイラーγが有理数であることの証明を
旧ガロアすれに書くというので、やめろと言った

理由は、もし証明が正しければ こんなところに書くのは勿体ない
恐らくは正しくないだろうが、こんなところに書いて 間違っていれば
読む人に 赤ペンさせるだけだ

いまも 似たように感じる
そもそも、何を意図しているかが不明だ
統合失調症系か？

余談だが、おれはスレのテンプレは重視している
議論の基礎だから
テンプレに その後の議論のネタのリンクを貼っておく

そうすると、こんな便所板でも
多少まともな議論にはなる
だから、名誉教授スレにおいて スレ立てで「テンプレをどうするか？」を聞いたんだが・・

（百済無いテンプレですね）

テンプレです。
ピヨピヨ、ヒヨコだよ🐣

こういうのが真に下らないテンプレというものだよw

高句麗だか新羅だか知らないがw

ある実数x≠0に対してxと-xの書かれたカードが入った箱がある
Bはランダムに箱から1枚カードを取り出す
Aは残りのカードを取る
大きな値を引いた方が勝ち
A,Bの勝つ確率は？

私はセンターで世界史が93点で一番得点率が良かった。
模試で750点は嘘ではないのだよw

まあ、🐣が出たら対でソレが出てくるわなw
誰もまともに答えないという…。

箱を１００個用意する
出題者は、箱に１つずつ多項式を入れる
どんな多項式をいれても構わない
回答者は１００の箱のうち１つをランダムに選ぶ
他の９９個を開けて中の多項式の次数の最大値Ｄを得る
さて回答者はここで予言をする
「箱の中の多項式の次数はたかだかＤである」
さてこの予言があたる確率は？

ていうか、仲間が答えたら良いじゃん。
成立派に関係する内容なんじゃないの？
不成立派に証明のギャップを要求するのなら、そちらも足並みを揃えたらどう？

本当に意見が揃っているところを見てみたい。
どうせ誰も答えない質問なんだから。

>>65
つまり
確率の基礎を理解していることを表明できない
深い理由があるとこと
君が答えないのは
忙しいからという
下らない理由を挙げて
彼の人への配慮を滲ませているから
ただのゲスだね